86-2008(методичка-математика)

Тогда

t 3,

3

t 2 ,

dx 3t 5dt .

2x 1

2x 1

3t 5dt

t 2

(t 2 1) 1

I

3

dt 3

dt

t 3(1 t 2 )

1 t 2

1 t 2

3 dt 3

1

dt 3t 3arctg t C

1 t 2

2sin 2 x 1 cos 2x,

2 cos 2 x 1 cos 2x .

4

1

2

1

2

cos

x dx

1 cos 2x

dx

1 2 cos 2x cos

2x dx

4

4

1

1

1 2 cos 2x

(1 cos 4x) dx

4

2

1

3

1

2 cos 2x

cos 4x dx

4

2

2

3

dx

1

cos 2x dx

1

cos 4x dx

8

2

8

3

x

sin 2x

sin 4x

C .

8

4

32

sin x t , а в случае нечетного n полагают

cos x t и

применяют формулу

sin 2 x cos 2 x 1.

2

sin 4 x cos 4 x d cos x (1 cos 2 x)

cos 4 x d cos x

(1 t 2 )2 t 4 dt (t 4 2t 6 t8 ) dt

5

t

7

t

9

cos

5

x

2 cos

7

x

cos

9

x

t

2

C

C .

5

7

9

5

7

9

b

f (x) dx

lim

f (x) dx .

a

b a

1

b

1

b

1)

dx

lim

dx

lim

(arctg x)

1 x2

x2

1

1

b

1

1

b

lim

(arctg b arctg 1)

lim (arctg b

)

.

b

b

4

2

4

4

b

1

b

cos

lim cos 2x dx

2)

2x dx

lim

sin 2x

2

0

b

b

0

0

1

lim

sin 2b sin 0

1

lim

sin 2b.

2 b

2 b

lim

ln b .

b

В данном случае интеграл расходится.

Задача №9

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной линиями

y x 3 и

y 6x x2 7 . Сделать чертеж.

Решение.

Если фигура ограничена графиками функций

y1(x) и

y2(x)

y1(x) y2 (x)

и соответствующими

отрезками прямых

x a и

x b , то ее площадь вычисляется

Задача №10

Вычислить

длину

дуги

кривой,

заданной

уравнением

y 9 x2 ;

0 x 3.

Решение.

Длина

дуги

кривой,

заданной

уравнением

y f (x) при

a x b ,

вычисляется по

формуле

В рассматриваемом случае 1 y

2

(x)

9

. Поэтому

9 x2

3

dx

x

3

3

L 3

3arcsin

3(arcsin 1 arcsin 0)

.

0

9 x

2

3

0

2

вокруг

оси

Ox

фигуры,

ограниченной

линиями

y 1

1

,

y 0,

x 1,

x 3 . Сделать чертеж.

x

Решение. Объем V тела, образованного вращением вокруг

оси Ox фигуры,

ограниченной графиком функции

y y(x) ,

3

1 2

3

2

1

V

1

dx 1

x

2

dx

1

x

1

x

1

3

8

x

2 ln x

2 ln 3 .

x

1

3

y

0

1

3

x

II. (x ) x 1, в частности

1

1

1

, ( x )

.

x2

х

2 x

III.

(logа х) =

1

logа е, в частности (ln х) =

1

.

x

x

IV.

(a x ) a x ln a, в частности,

(e x ) e x .

V. (sin х) = cos х.

VI.

(cos х) = sin х.

VII.

( tg x ) =

1

.

cos

2 x

VIII. (ctg x) =

1

.

sin 2 x

IX.

(arcsin х) =

1

.

1 x2

X.

(arccos x) =

1

.

1 x2

XI. (arctg x) =

1

.

1 x2

XII. (arcctg x) =

1

.

1 x2

XIII.

(sh х) = ch х.

XIV.

(ch х) = sh х.

XV. (th x) =

1

.

ch 2 x

XVI.

(cth x) =

1

.

sh2 x

Приложение 2

Таблица интегралов простейших элементарных функций

I.

x dx

x 1

C

1 .

1

II.

dx

ln

x

C.

x

III.

dx

arctg x C.

1

x2

IV.

dx

arcsin x

C.

1

x2

V. a xdx

a x

0 a 1 .

C

ln a

VI.

e x dx e x C.

X.

dx

ctg x C.

sin 2 x

XI.

dx

1

ln

x a

C

(a 0) .

x2 a2

2a

x a

XII.

dx

ln

x

x2 k

C.

x2 k

XIII.

dx

1

arctg

x

C.

x2 a2

a

a

XIV.

dx

arcsin

x

C.

a

a2 x2

СОДЕРЖАНИЕ

1.

Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению

курса высшей математики . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

1

2.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

3

3.

Программа курса “Высшая математика” для студентов-

заочников инженерно-технических специальностей. . . .

3

4.

Вопросы для самопроверки к контрольной работе №2. .

5

5.

Контрольная работа №2. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

6

6.

Примеры решения задач к контрольной работе №2 . . . .

23

Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

45

Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

46

Библиографический список . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

47