86-2008(методичка-математика)

Аналогично, если функция имеет на отрезке минимумы в

указанных точках определим с помощью достаточного условия экстремума. Найдем вторую производную функции:

значения функции в точках экстремума и на концах заданного отрезка:

Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой

а наименьшее значение функции

31

Задача №6

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

y(x 1)3 (x 1)2

и построить ее график.

Решение. Исследование функции будем проводить, придерживаясь следующей схемы:

1) Найдем область определения функции.

Так как функция представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля.

y( x) y(x) .

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

3) Найдем точки пересечения с осями координат.

График функции пересекает оси координат в точках (0;1) и ( 1; 0) .

4) Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. I. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция разрывна в точке x 1 и

lim y(x) , x 1 0

то прямая x 1 – вертикальная асимптота графика.

32

II. Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых y kx b , где

33

Критические точки: x 1, x 5 , x 1.

Функция возрастает для тех значений переменной, при которых

( ;1) (5; ) , убывает на промежутке (1;5).

7) Результаты исследования оформим в виде таблицы.

34

8) Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и соединяя их плавной кривой (рис. 2).

Задача №7

Найти неопределенный интеграл.

а) Интегрирование по частям.

Для решения примеров данного пункта воспользуемся формулой интегрирования по частям:

u dv uv v du .

Этот метод удобно применять в следующих случаях.

I.Когда подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции ln x , arcsin x , arccos x, arctg x, arcctg x, то

вкачестве u(x) следует выбирать эти функции.

Ix arctg x dx ;

35

y

27

2

36

II.Подынтегральная функция имеет вид P(x)eax ,

P(x) sin ax , P(x) cos ax , где P(x) – многочлен. Если в качестве

u(x) выбрать P(x), то в новом интеграле подынтегральная функция вновь будет принадлежать одному из указанных типов, но степень многочлена будет на единицу меньше.

I x2e xdx .

Ix2e x 2 x e xdx .

Кполученному интегралу снова применим формулу

Ix2e x 2 x e x dx x2e x 2 xe x e x dx

x2e x 2xe x 2e x C .

III. Подынтегральная функция имеет вид eax sin bx , eax cos bx , sin(ln x) , cos(ln x). После двукратного применения

37

формулы интегрирования по частям, вновь получается исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла.

I sin(ln x) dx .

Ix sin(ln x) cos(ln x) dx

x sin(ln x) x cos(ln x) sin(ln x) dx .

Получили линейное относительно искомого интеграла уравнение:

I x (sin (ln x) cos (ln x)) I ,

откуда находим

I 2x (sin (ln x) cos (ln x)) C .

б) Интегрирование рациональных дробей.

соответственно. Если n m , то рациональная дробь называется правильной, если n m - неправильной. Неправильную рациональную дробь, выделив из нее целую часть, можно представить в виде многочлена и правильной дроби.

Метод интегрирования правильной рациональной дроби состоит в разложении дроби на сумму простейших дробей и последующем интегрировании каждого слагаемого этого разложения.

38

Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Следовательно, можно сразу производить разложение на простейшие дроби. Разложение имеет вид

где коэффициенты A, B, C, D могут быть определены методом неопределенных коэффициентов.

Приведем дроби, стоящие в правой части равенства к общему знаменателю:

и приравняем числители получившихся дробей

3x2 2 A(2x 1)(x2 1) B(x2 1) (Cx D)(2x 1)2 .

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для определения A, B, C и D:

при x3 : 2A + 4C = 0;

при x 2 : -A + B – 4C + 4D = 3; при x1: 2A + C – 4D = 0;

при x0 : -A + B + D = -2.

Решив эту систему, находим коэффициенты A, B, C и D:

39

Таким образом, разложение подынтегрального выражения принимает вид:

в) Интегрирование иррациональных выражений.

С помощью подходящей подстановки подобные выражения сводят к рациональным и далее используют уже известные методы интегрирования рациональных выражений.

Сделаем подстановку t 6 2x 1 .

40