Kontrolnye_raboty_No3_i_No4

r3

a

Решение

Точки в которых требуется найти напряжённости электрического поля, лежат в трёх областях (см. a): область I

( r1<R1), область II (R1< r2<R2), область III (r3>R2).

1. Для определения напряжённости Е1 в I области, проведём сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то получим

где En – нормальная составляющая напряжённости электрического поля.

Из соображения симметрии нормальная составляющая En должна быть равна самой напряжённости и постоянна для всех точек сферы, т.е. En =E1=const. Поэтому её можно вынести за знак интеграла:

E1 dS 0.

S1

Так как dS 0, то Е1=0, т.е. напряжённость электрического поля внутри первой сферы равна нулю.

2. В области II проведём сферическую поверхность радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится

11

заряд Q1, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать равенство

4. Построим график Е(r). В области I (r1<R1) напряжённость Е = 0. В области II (R1<r1<R2) напряжённость Е2(r) изменяется по закону 1/r2. В точке r=R1 напряжённость

Е2(R1) Q1(4 0 R12) 2500В/м.

В точке r=R2 (r стремится к R2 слева)

Е2(R2) Q1(4 0 R22) 900В/м.

В области III (r>R2) Е3(r) изменяется по закону 1/r2, причём в точке r=R2 (r стремится к R2 cправа)

Е3(R2) (Q1 Q2)(4 0 R22) 450В/м.

12

Таким образом, функция Е(r) в точках r=R1 и r=R2 терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на б.

E,В/м

Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью=10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы симметрично расположена относительно концов дуги. На нити

13

выделим элемент длины dl. Заряд dQ= dl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

dl r d , 4 0 r3

где r –радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор dE через проекции dEx и dEy на оси координат:

dE idEx jdEy ,

где i и j – единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием. интегрирова-

ние ведется вдоль дуги длиной l.

симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до /3, а результат удвоим:

Выразив радиус R через длину l нити (3l=2 R), получим

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал d , поля создаваемого точечным зарядом dQ в точке О: d = dl /(4 0 r).

Заменим r на R и проведем интегрирование:

Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью =10 нКл/м. Найти потенциал , созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние l.

Решение

В задаче рассматривается поле, создаваемое распределённым зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ = dx, который можно считать точечным.

Потенциал d , создаваемый этим точечным зарядом в точке А, можно определить по формуле

d dQ τdx . 4π 0x 4π 0x

15

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрированием этого выражения:

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

= 62,4 В.

Пример 8. Электрическое поле создаётся двумя зарядами Q1 = 4 мкКл и Q2 = -2 мкКл, находящиеся на расстоянии a=0,1 м друг от друга. Определить работу А12 сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2 (см. рис.).

Решение

Для определения работы А12

2

сил поля воспользуемся соотношением

После подстановки численных значений, получим

A12 14,3мДж .

Пример 9. С поверхности бесконечного равномерно заряженного ( τ=50 нКл/м) прямого цилиндра вылетает α – частица (υ0=0). Определить кинетическую энергию Т2 α- частицы в точке 2 на расстоянии 8R от поверхности цилиндра.

Решение

Так как силы электростатического поля являются консервативными, то для определения кинетической энергии α -

τчастицы в точке 2 воспользуемся законом сохранения энергии, записанном в виде

где Q – заряд α- частицы, φ1 и φ2 – потенциалы точек 1 и 2. Для определения разности потенциалов воспользуемся

соотношением между напряжённостью поля и изменением

потенциала: E grad . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно

Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

17

напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным

Пример 10. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью0 107 мс. Напряженность поля в конденсаторе Е=100В/cм,

длина конденсатора l=5см. Найти модуль и направление скорости электрона в момент вылета из конденсатора. На сколько отклонится электрон от первоначального направления?

Решение

Совместим начало координат с точкой, где находился электрон в момент его попадания в поле конденсатора. Движение электрона в конденсаторе можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения со скоростью x 0 в горизонтальном

18

направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением a вдоль оси ОУ.

Ускорение вдоль оси ОУ создает электростатическая сила (силой тяжести по сравнению с электростатической пренебрегаем)

a eE , m

где е – заряд электрона, Е – напряженность поля.

Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х и у и проекций скорости x и y от времени, будут иметь вид:

Направление вектора определяется углом , для которого, как видно из рисунка,

Пример 11. Конденсатор емкостью С1=3мкФ был заряжен до разности потенциалов U1=40В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2=5мкФ. Какая энергия W’ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение

Энергия, израсходованная на образование искры,

W’=W1-W2, (1)

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

20