1.2.3. Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки).

1.3. Умножение матриц

Произведением АВ двух квадратных матриц А и В одного порядка называется третья квадратная матрица С того же порядка, составленная по следующему правилу: элемент ckl , стоящий в матрице С на пересечении k-й

Определение произведения можно распространить на неквадратные матрицы, у которых число столбцов матрицы множимого А равно числу строк матрицы множителя B . При соблюдении этого условия множимого А может иметь любое число (m) строк, а матрица В – любое число (n) столбцов. Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (1.6).

3

Решение. По формуле (1.6) получаем элементы матрицы АВ:

17 15 33

Итак, АВ = 19 14 37 ;0 - 8 - 8

По формуле (1.6) получаем элементы матрицы ВА:

c11 3 4 2 3 5 2 28; c12 3 2 2 3 5 ( 3) 3; c13 31 2 4 5 0 11;

c21 2 4 4 3 6 2 32; c22 2 2 4 3 6 ( 3) 2; c23 2 1 4 4 6 0 10;

c31 1 4 ( 1) 3 1 2 3; c32 1 2 ( 1) 3 1 ( 3) 4; c33 1 1 ( 1) 4 1 0 3;

Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, заключаем, что AB BA .

7 1 3 6

Пример 1.6. Найти произведение АВ матриц А = ,

9 4 7 7

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу B . По формуле (1.6) находим:

4

c11 7 1 1 4 3 0 6 2 23; c12 7 5 1 1 3 ( 8) 6 4 36; c21 9 1 4 4 7 0 7 2 39; c22 9 5 4 1 7 ( 8) 7 4 21;

23 36

Следовательно: АВ = .

39 21

1.4. Свойства произведения матриц

Пусть А, В и С – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведение матриц были определены), а – действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1.АВ ВА.

2.(АВ)С = А(ВС).

3.(А + В)С = АС + ВС.

4.А(В + С) = АВ + АС.

5.(АВ) = ( А)В = А( В).

6.АЕ = А.

7.ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1.Вычисление определителей

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Правило вычисления определителя второго порядка: из произведения элементов на главной диагонали вычитается произведение элементов на второй диагонали матрицы А.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

5

a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33.

Правило вычисления определителя третьего порядка таково. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком “плюс” берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком “минус” – произведения, сомножители которых стоят не на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали

(рис. 1).

Порядок определителя равен порядку соответствующей матрицы.

Рис. 1

Пример 2.1. Вычислить определитель третьего порядка

3 1 8 16 90 8 24 20 24 134.

2.2.Основные свойства определителя

Приведем некоторые свойства определителя.

1. Величина определителя не изменяется, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, т. е.

2.Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число (-1).

3.Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

4.Умножение всех элементов некоторой строки (столбца)

определителя на число равносильно умножению определителя на это

6

число , т. е. общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя:

5.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6.Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Минором элемента aij определителя n-го порядка называется

определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Это число M ij .

Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется число, равное минору этого элемента, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное и со знаком (-) – в противном случае

7. Разложение определителя по строке (столбцу).(Один из способов вычисления определителя) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца) равна величине этого определителя.

Определитель 3-го порядка разложим по первой строке

Пример 2.2. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение. Разложить определитель можно по любой строке (столбцу). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой больше элементов, равных нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вид

=3(3 +14 + 48 – 126 – 2 - 8) + 2(4 + 24 + 36 - 48 - 9 - 4)= -207.

7