2. ОценКа безотказности по схеме «Успех – отказ»

Вычисление нижних доверительных границ ВБР на запуске и останове производится по общей формуле (1)

Рнi = (1 - γ)^1/Ni. (1)

Применение этой формулы возможно при обязательном условии отсутствия зачетных отказов, то есть – отказов, причины которых еще не устранены и могут повториться.

Для заданных значений N_зап = 40, N_ост = 35 значения нижних доверительных границ безотказности двигателя на запуске и останове, вычисленные по формуле (1) составляют:

при  = 0,9:

Рзап.н =(1-0,9) ^1/40 = 0,944,

Рост.н = (1-0,9) ^1/35 = 0,936;

при  = 0,95:

Рзап.н =(1-0,95) ^1/40 =0,928,

Рост.н = (1-0,95) ^1/35 = 0,918.

Заметим, что задание более высокой доверительной вероятности приводит к боле низким значениям оценок безотказности при одинаковом количестве располагаемых зачетных испытаний.

3 Последовательность оценки безотказности по схеме «Параметр – заданное поле допуска»

Чаще всего на практике принимают допущение о нормальном законе распределения параметра.

Для проверки этого допущения построим гистограмму измеренных значений тяги, для чего воспользуемся имеющейся в распоряжении стандартной программой (в составе программного обеспечения Windows или Exel). Более удобно воспользоваться специализированной программой статистической обработки экспериментальных данных Statistica, предложенной фирмой STAT SOFT. Выбор способа построения гистограммы предоставлен студенту.

Соответствующие графики, иллюстрирующие удовлетворительное соответствие измеренных значений тяги нормальному закону распределения, представлены на рисунках 1 и 2. Рисунок 1 построен для значений тяги, приведенных в таблице П1 для первого варианта работы, рисунок 2 – для второго варианта.

Построение гистограммы предусматривает разделение всего диапазона измеренных значений параметра на 6 – 8 интервалов и подсчет количества численных значений параметра, попадающих в каждый конкретный интервал. Полученные гистограммы для двух вариантов статистики представлены на рисунках 1 и 2 с наложенными на них функциями теоретической плотности нормального распределения.

В качестве параметров теоретического нормального закона рас­пределения принимаются величины:

- среднее измеренное значение параметра

(2);

- стандартное отклонение параметра, вычисленное по ре­зультатам измерений

^(3).

Рис. 1. Гистограмма измеренных значений тяги для варианта 1 с наложенным нормальным законом распределения

Рис. 2. Гистограмма измеренных значений тяги для варианта 2 с наложенным нормальным законом распределения

Для проверки правильности допущения о нормальном законе распределения тяги исполь­зуем наиболее употребительный статистический критерий (критерий Пирсона), по которому за меру расхождения между статистическим (экспериментально полученным) и теоретическим законами распреде­ления принимается величина

= (4)

Здесь l - число разрядов (интервалов) на которые разбит весь диа­пазон возможных значений параметра;

N - объем проведенных измерений;

m_i - количество измерений, попадающих в i-й разряд (интер­вал) ;

Pi - вероятность попадания параметра в i-й интервал, вычис­ленная для теоретического закона распределения.

Для вычисления значения Рi:

- для каждой границы i-ro интервала подсчитывают значения:

Uiн = ; (5)

Uiв = (6)

При этом учитывают, что значения Uiв для i-ro интервала и U_{(i + 1)} для (i + 1)-го интервала совпадают;

- находят теоретические вероятности попадания параметра в каж­дый i-й интервал, используя выражение

Р_i = (7)

в котором Ф(Uiв) и Ф(Uiн) представляют собой значения нормирован­ной функции нормального распределения, опреде­ляемые по таблице П1 приложения в зависимости от вычисленных значе­ний Uiв и Uiн. С учетом симметрии рассматриваемой функции относительно начала координат таблица составлена только для положи­тельных значений аргумента U, и в связи с этим для отрицательных аргументов необходимо пользоваться формулой

F(-U) = 1 - F(U); (8)

Теоретическое количество измерений параметра, по­падающих в каждый i-й интервал, определяют по формуле

mi_тeop = NP_i. (9)

При этом значения mi_тeop, являющиеся действительными числами, определяются с точностью до одного знака после запятой. Расхождение между эмпирическим частотами m_i попадания в каждый i-й интервал и теоретическими NP_i частотами попадания в те же интервалы (в предположении нормального распределения) может оказаться случайным (незначимым), что объясняется малым числом проведенных измерений, способом их группирования или другими причинами. -

Значение критерия χ² находят суммированием по формуле (4).

Вычисление теоретических и экспериментальных частот вероятностей попадания параметра в каждый i-интервал целесообразно представить таблицей 2, полученной для варианта 1 исходных данных.

Таблица 2

Границы интервалов		Число попада­ний в интер­вал	Нормированная нижняя гра­ница интервала Uн=(Rн-)/S	Нормированная верхняя гра­ница интервала Uв=(Rв-)/S	Вероятность попадания в интервал Рi	Теоретическое число попаданий в интервал mтеор = NP	Подсчет критерия соответствия
Rн	Rв
3,05	3,10	2	-2.59	-1.72	0.037	1.5	0.167
3,10	3,15	5	-1.72	-0.86	0.152	6.1	0.192
3,15	3,20	13	-0.86	0.00	0.306	12.2	0.049
3,20	3,25	13	0.00	0.86	0.306	12.2	0.049
3,25	3,30	5	0.86	1.72	0.152	6.1	0.192
3,30	3,35	2	1.72	2.59	0.037	1.5	0.167
3.35	3.40	0	2.59	3.45	0.005	0.2	0.183
Сумма		40			Сумма	39,8	0,998

Вероятность попадания в каждый i-й интервал (Р_i) определяется по формуле

Р_i = . (10)

Значение критерия , полученное суммированием по всем интервалам и составляющее 0,998, необходимо сравнить с критическим значением, которое в нашем случае может быть принято равным 20 – 30. Так как полученное значение существенно меньше критического, принятое допущение о нормальном законе распределения тяги можно считать подтвержденным.

Оценку ВБР по параметру тяги производить по формуле:

Р_реж = , (11)

где в соответствии с исходными данными для 1 варианта

R_max= 3,350 т – верхнее допустимое значение тяги;

R_min= 3,050 т – нижнее допустимое значение тяги.

Соответственно, для 2 варианта:

R_max = 83,50 т, R_min = 80,50 т.

В приведенной формуле коэффициент , учитывающий ограниченность статистики измерений, принять равным 1,19 для =0,9 и 1,24 – для  0,95.

С учетом ранее вычисленных значений = 3,2 иS = 0,058 (для 1 варианта) получаем значение Р_режн = 0,990.