суперсимметряи_пособие

3.5.2Векторный мультиплет в суперполях. Калибровка Весса Зумино.

Для иллюстрации основных методов теории суперсимметрии полезно рассмотреть суперполевую формулировку компонентной теории (3.63). Для построения последней необходимо выбрать набор суперполей, установить суперполевую форму калибровочных преобразований и построить инвариантный функционал действия. В этой связи полезно отметить, что вещественное скалярное суперполе содержит в своем компонентном разложении векторное поле An(x):

и, таким образом, является подходящим объектом для построения суперполевой версии суперсимметричной калибровочной теории. Компонентные поля, входящие в состав суперполя (3.64), принято называть (o -shell) векторным мультиплетом.

Для построения калибровочных преобразований напомним компонентное разложение кирального суперполя:

51

По этой причине их называют суперполевыми напряженностями или препотенциалами. Отметим, что по построению препотенциалы W® являются ки-

Задача 3.9. Вывести суперполевые уравнения движения для функционала (3.68) и функционала (3.69).

В качестве последнего шага убедимся, что компонентная форма суперполевого действия (3.69) воспроизводит результат предыдущего параграфа. Для этого заметим, что суперполевой параметр ¤ содержит три компонентных ком-

плексных параметра ®, ´® è f, из которых лишь (®+®¹) является существенным

52

Данная калибровка известна как калибровка Весса Зумино. В калибровке Весса Зумино функционал действия имеет прежний вид (3.69), где компонентное разложение суперполя V дается более простым выражением:

Задача 3.11. Доказать, что для суперполя (3.77) справедливы следующие соотношения:

D[®W¯]j = ¡2²®¯D(x); D(®W¯)j = i²¯°(¾nm)®°(@nAm(x) ¡ @mAn(x))(3;.80)

которые являются следствием формул (3.78), приходим к теории (3.63). Итак, мы убедились, что суперполевая версия суперсимметричной калибро-

вочной теории задается функционалом действия (3.69).

В заключение данного подраздела сделаем замечание относительно формы преобразований суперсимметрии для модели в калибровке Весса Зумино.

¹

До наложения калибровки суперполе V (x; µ; µ) изменялось относительно преобразований суперсимметрии по стандартному закону:

Нетрудно видеть, что калибровка Весса Зумино не инвариантна относительно преобразования суперсимметрии. Однако, используя компенсирующее преобразование (3.66) с калибровочным параметром, имеющим следующий вид:

можно получить модифицированное преобразование суперсимметрии, сохраняющее калибровку. Наличие компенсирующего калибровочного преобразования обуславливает нестандартную форму алгебры суперсимметрии, которую мы обнаружили в предыдущем подразделе.

Задача 3.12. Используя соотношения (3.78), получить компонентную форму преобразований суперсимметрии, сохраняющих калибровку Весса Зумино.

53

3.5.3 Абелева суперсимметричная теория Янга Миллса.

Перейдем к построению теории, описывающей взаимодействие кирального и векторного мультиплетов. Для этого будем следовать стандартному калибровочному принципу.

Функционал действия полей материи:

Z

Однако, принимая во внимание результаты предыдущего раздела, несложно

¹

ввести в рассмотрение калибровочное суперполе V (x; µ; µ), преобразующееся

Последняя формула определяет абелеву калибровочную теорию в суперполях. Обсудим компонентную форму теории (3.88). До наложения калибровки Весса Зумино формальное выражение (3.88) содержит бесконечное число слагаемых. Однако после наложения калибровки суперполе V принимает вид (3.77)

и, в частности, имеют место соотношения:

С учетом нашего предыдущего рассмотрения для получения компонентного действия достаточно проанализировать лишь вклады, описывающие взаимодействие. Обозначая компонентные поля, входящие в состав кирального суперполя ©, следующим образом:

54

и принимая во внимание тривиальные равенства:

Задача 3.13. Проверьте равенства (3.92).

Отметим, что в лагранжиане полей материи все производные автоматически являются ковариантными по группе калибровочных преобразований.

3.5.4 Неабелева суперсимметричная теория Янга Миллса.

В предыдущем разделе была рассмотрена суперсимметричная теория Янга Миллса с калибровочной группой U(1). В данном параграфе мы кратко обсу-

è ¹

©I наборы киральных и антикиральных суперполей, соответственно, и индекс I принимает значения от 1 äî N. Модель является инвариантной относительно преобразований:

55

По аналогии с предыдущим случаем рассмотрим локальную версию преобразований (3.95):

ãäå ¤ киральное суперполе, принимающее значения в алгебре Ли калибровоч- ной группы, ¤I J = ¤aTaI J .

строим инвариантный лагранжиан, описывающий взаимодействие полей материи с калибровочными полями: Z

Пользуясь в правой части равенства (3.98) формулой Бейкера Кемпбелла Хаусдорфа, можно получить закон преобразования калибровочного поля в явном виде. В частности, в приближении линейном по полям и калибровочным параметрам находим:

Обсудим далее лагранжиан, описывающий калибровочные поля. Для построения последнего нам необходимо найти препотенциалы W®, преобразую-

удовлетворяет указанным требованиям. Отметим, что, как и в абелевом случае, суперполевые напряженности W®I J являются киральными суперполями.

Построение компонентного функционала действия проводится в калибровке Весса Зумино по аналогии с абелевым случаем, и мы не будем останавливаться на нем подробно. Соответствующие детали могут быть найдены в монографии [9].

56

3.6Геометрическая формулировка калибровочных теорий.

Âданном разделе мы рассмотрим альтернативный подход к формулировке калибровочных теорий, основанный на использовании аппарата дифференциальной геометрии. Помимо демонстрации общих методов теории суперсимметрии, геометрический подход является наиболее удобным при работе в высших размерностях и при построении различных теорий супергравитации.

3.6.1 Дифференциальные формы на суперпространстве.

заданный в каждой карте системой супергладких функций ©M (z) и не завися-

57

Задача 3.14. Проверьте, что умножение форм линейно, ассоциативно и удовлетворяет перестановочному соотношению:

!p ¢ ¾q = (¡1)pq¾q ¢ !p; (3.110) где числа p è q указывают на порядок дифференциальных форм !p è ¾q.

Внешний дифференциал на множестве дифференциальных форм определяется как операция, повышающая порядок формы на единицу

Задача 3.15. Докажите, что внешний дифференциал обладает следующими свойствами:

d(!p +¾p) = d!p +d¾p; d(!p ¢¾q) = !p ¢d¾q +(¡1)qd!p ¢¾q; d(d!p) = 0: (3.112)

При формулировке калибровочных теорий в терминах дифференциальных форм, помимо стандартного базиса dzN , нередко оказывается полезным другой

базис, связанный с дифференциальными инвариантами преобразований суперсимметрии:

Объединяя данные инварианты в единую дифференциальную форму:

Супертетрада является обратимой суперматрицей:

58

Супертетраду можно понимать как некоторый аналог тетрады (локального репера), известной в общей теории относительности. По аналогии с тем, как в общей теории относительности свертка тензоров, преобразующихся по группе общекоординатных преобразований, с локальным репером приводит к скалярному выражению (более точно, возникают тензоры, преобразующиеся по локальной группе Лоренца), супертетрада преобразует вектор супергруппы Пуанкаре в суперскаляр. Будем называть индексы M; N; : : :, преобразующиеся

под действием супергруппы Пуанкаре, мировыми. Индексы A; B; : : :, которые

получаются в результате свертки мировых индексов с супертетрадой, будем называть касательными. В практических вычислениях работа с касательными индексами оказывается более удобной, поскольку все объекты автоматически являются скалярами супергруппы Пуанкаре. В частности, в их терминах удобно строить явно суперсимметричные лагранжианы.

Дифференциал 1 формы супертетрады определяет 2 форму кручения плоского суперпространства:

Какие компоненты кручения плоского суперпространства отличны от нуля?

3.6.2 Связность и кривизна.

В данном разделе мы приступаем к формулировке калибровочной теории, исходя из общих геометрических принципов.

Рассмотрим набор суперполей материи, которые преобразуются по фундаментальному представлению грассмановой оболочки некоторой полупростой компактной группы Ли:

ãäå Ta эрмитовы операторы, задающие представление полупростой компактной алгебры Ли, и Ka вещественные четные суперчисла. Рассматриваемое пред-

ставление унитарно.

Для того, чтобы построить модель, инвариантную относительно локальной версии преобразований (3.124), т.е. для случая, когда вещественные суперчисла

59

Ka заменяются на вещественные суперполя Ka(z), введем в рассмотрение 1

ковариантные относительно калибровочной группы. Действительно, постулируя следующий закон преобразования связности:

которая преобразуется по тензорному закону.

Задача 3.18. Доказать, что при калибровочных преобразованиях 2 форма кривизны преобразуется следующим образом:

Отметим, что выражение вида tr F 2 автоматически инвариантно относи-

тельно калибровочных преобразований и может быть использовано для построения инвариантных лагранж1èàíîâ.

Вводя обозначение F = 2 dzM ^ dzN FNM тензора кривизны, находим:

В дальнейшем нам понадобится явный вид компонент тензора кривизны. Переходя к касательным индексам:

60