суперсимметряи_пособие

Глава 3 Теория поля в суперпространстве.

В двух предыдущих главах наше рассмотрение было сосредоточено на изложении математических основ теории суперсимметрии и изучении свойств супералгебры Пуанкаре. В данной главе развитый аппарат будет применен для построения суперсимметричных моделей теории поля и изучения их специфи- ческих особенностей.

3.1Ковариантные производные. Киральные суперполя.

По аналогии с квантовой теорией поля в пространстве Минковского основными объектами, с которыми нам предстоит оперировать, являются суперпространство, набор суперполей и функционал действия, который определяет динамику теории.

Как уже обсуждалось ранее, разложение произвольного поля в ряд по грассмановым переменным приводит к набору компонентных полей, которые отождествляются с релятивистскими частицами. В общем случае данный набор является слишком широким, и построение суперсимметричных моделей, представляющих реальный физический интерес, можно провести, используя меньшее число компонентных полей.

Процедуру, позволяющую удалить часть компонентных полей из рассмотрения, называют наложением связей. Связь представляет собой ограничение на

¹

форму суперполя V (x; µ; µ) âèäà:

наложение связей не нарушает суперсимметрию теории только, если оператор

¹

D (анти)коммутирует с суперзарядами Q® è Q®.

41

Принимая во внимание явный вид генераторов суперсиметрии, нетрудно построить операторы такого типа (fDA; QBg = 0, A = (®; ®)):

которые называют ковариантными производными. Поскольку ковариантные производные играют важнейшую роль при построении суперсиметричных полевых теорий, полезно выписать их основные свойства.

Задача 3.1. Доказать соотношения:

Простейшими суперполями в C4j2 являются голоморфные суперполя:

42

В частности, компонентное разложение голоморфного суперполя имеет следующий простой вид:

Рассмотрим далее инвариант преобразований (3.9):

Важное наблюдение состоит в том, что суперинвариантную поверхность:

â C4j2 можно отождествить с суперпространством R4j4. Действительно, данная

n 1 n n ®, ¹®), преобразоповерхность параметризуется переменными (x = 2 (y +y¹ ), µ µ

вания суперсимметрии для которых в точности совпадают с формулами (2.96), полученными в предыдущей главе.

В качестве последнего шага рассмотрим ограничение голоморфного суперполя ©(y; µ) на поверхность (3.14). Принимая во внимание тождества:

Итак, ограничение голоморфного суперполя, определенного в C4j2, íà ñó- перинвариантную поверхность (3.14) дает киральное суперполе в R4j4.

Для дальнейшего полезно®выписать2компонентное разложение кирального суперполя (©(x; µ) = A(x) + µ î(x) + µ F (x)):

(3.18) Комплексное сопряжение последнего выражения дает компонентное разложение антикирального суперполя:

43

3.2Вариационный принцип в суперполевом подходе.

Напомним, как выглядит формулировка вариационного принципа в рамках релятивистской теории поля. На множестве полей fV g задается функционал

Постулируется, что траектории физической системы доставляют экстремум функционалу действия:

В формуле (3.23) принято следующее обозначение для меры интегрирования по нечетным переменным:

ZZ

± функция в суперпространстве R4j4 выбрана в виде:

44

Принимая во внимание последнее замечание, нетрудно определить вариационную производную для киральных суперполей:

Отметим, что данное определение согласовано с уравнением, которому удовлетворяет киральное суперполе.

Аналогичным образом для антикиральных суперполей рассматривают ин-

n ¹

теграл по подпространству (x ; µ®):

ZZ

В заключение отметим, что суперполевой функционал действия общего вида автоматически является инвариантным относительно преобразований суперсимметрии.

Задача 3.3. Доказать, что функционал вида R d6z ©(z), ãäå ©(z) киральное суперполе, инвариантен относительно преобразований суперсимметрии.

45

3.3Переход к компонентным полям в суперполевом действии. Суперсимметрия в компонентах.

Используя компонентное разложение (3.18), нетрудно получить соотношения:

Модель (3.37) впервые была предложена Вессом и Зумино в работе [4]. и ¹

Поскольку на уравнениях движения поля F (x) F (x) оказываются равными

нулю, их называют вспомогательными. Являясь нединамическими переменными, вспомогательные поля, тем не менее, играют в теории принципиальную роль. Они обеспечивают замыкание алгебры суперсимметрии вне массовой поверхности. В следующем разделе мы обсудим вспомогательные поля более детально.

Задача 3.4. Получить формулу (3.37) явной подстановкой компонентных раз-

Rложений кирального и антикирального суперполей в функционал действия

8 ¹

d z ©©.

Описанная выше техника оказывается полезной и при установлении компонентной формы преобразований суперсимметрии. Действительно, принимая во внимание тривиальное тождество:

46

и закон преобразования скалярного суперполя относительно супертрансляций

¹

±© = i(²Q + ²¹Q)©, имеем:

±A(x) = ±©j = ¡²Ã(x); ±Ã®(x) = D®±©j = ¡2²®F (x) ¡ 2i(¾n²¹)®@nA(x);

Задача 3.5. Проверить симметрию (3.39) в функционале действия (3.37). Вы- числить коммутатор двух преобразований суперсимметрии [±1; ±2] при действии

íà ïîëÿ A(x), î(x), F (x).

лучить суперполевые уравнения движения, компонентную форму функционала действия и преобразований суперсимметрии.

3.4 Суперсимметрия вне и на массовой оболочке.

нединамическими. По этой причине они могут быть исключены из рассмотрения. В частности, теория:

физически эквивалентна модели (3.37). Преобразование суперсимметрии, оставляющее данный функционал действия инвариантным, получается из формул (3.39) исключением поля F (x):

Полезно проанализировать алгебру преобразований (3.42). Несложное вычисление дает:

[±1; ±2]î(x) = 2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)@nî(x) + i(²2¾m²¹1 ¡ ²1¾m²¹2)(¾m¾~n@nÃ(x))®;

Таким образом, алгебра преобразований суперсимметрии замыкается только на уравнениях движения:

(3.44)

Преобразования такого типа называют преобразованиями суперсимметрии на массовой поверхности или on-shell суперсимметрией. Преобразования симметрии (3.39), которые имелись в теории до исключения вспомогательного поля, называют преобразованиями суперсимметрии вне массовой поверхности или o -shell суперсимметрией.

47

Отметим, что размыкание алгебры преобразований глобальной симметрии функционала действия вне массовой оболочки характерно только для суперсимметричных моделей и не имеет места для обычной релятивистской теории поля. Хотя отсутствие o shell суперсимметрии не является препятствием для изучения динамики модели, в ряде случаев явно o shell суперсимметричная формулировка оказывается предпочтительной.

Наше предыдущее рассмотрение показывает, что в общем случае для замыкания алгебры суперсимметрии вне массовой оболочки необходимо вводить вспомогательные нединамические поля. Проиллюстрируем этот механизм на примере модели Весса Зумино.

Для удаления нежелательного вклада в алгебру (3.43) модифицируем закон преобразования фермионного поля следующим образом:

ãäå F (x) вспомогательное поле. Требуя выполнения стандартного соотношения:

Далее необходимо вычислить действие коммутатора [±1; ±2] íà ïîëå F (x). Несложное вычисление приводит к желаемому соотношению

которая приводит к окончательной o shell суперсимметричной формулировке. Тривиальное переопределение вспомогательного поля:

48

воспроизводит функционал действия (3.37).

В заключение данного раздела отметим, что описанная процедура замыкания алгебры суперсимметрии вне массовой поверхности не всегда оказывается конструктивной. В частности, до настоящего момента не известна o shell формулировка для N = 4 суперсимметричной теории Янга Миллса, а также для

некоторых моделей супергравитации.

3.5 Суперсимметричная теория Янга Миллса.

Калибровочные теории, то есть теории, в которых имеются преобразования симметрии с локальным параметром, играют в современной теории поля центральную роль. В данном разделе мы изучим суперсимметричный вариант теории Янга Миллса.

Стандартная формулировка теории Янга Миллса вовлекает набор (скалярных) полей материи и калибровочное поле. При этом функционал действия содержит вклад, отвечающий свободным полям материи, слагаемые, описывающие калибровочное поле, и члены, ответственные за взаимодействие.

Построение суперсимметричной версии теории Янга Миллса предполагает введение суперпартнеров как для полей материи, так и для калибровочного поля. Суперсимметричная версия теории свободного комплексного скалярного поля была построена в разделе 3.3 и описывается киральным мультиплетом (модель Весса Зумино). Ближайшие два подраздела будут посвящены формулировке суперсимметричной теории калибровочного поля. К рассмотрению полной суперсимметричной теории Янга Миллса мы приступим в подразделах 3.5.3 и 3.5.4. В заключительном разделе 3.6 мы изучим геометрическую формулировку суперсимметричной калибровочной теории.

3.5.1 Векторный мультиплет в компонентах.

Для простоты начнем с абелева случая и рассмотрим функционал действия:

ãäå Fnm(x) = @nAm(x) ¡ @mAn(x) напряженность калибровочного поля An(x).

49

Очевидно, данное расширение калибровочно инвариантно, при условии, что фермионы преобразуются тривиальным образом: ±®¸ = 0.

Принимая во внимание массовые размерности имеющихся полей, координат и параметров:

[x] = 1; [@=@x] = ¡1; [µ] = 1=2; [²] = 1=2; [A] = ¡1; [¸] = ¡3=2; (3.56)

и допуская, что преобразование векторного поля линейно, однозначно фиксируем закон преобразования бозонного поля:

Вариация функционала действия относительно последнего преобразования подсказывает закон преобразования суперпартнеров:

который вместе с преобразованием (3.57) оставляет функционал действия теории инвариантным.

Задача 3.7. Доказать, что преобразования (3.57), (3.58) являются симметрией модели (3.55).

Замечание. При доказательстве оказывается полезным следующее тождество:

¾a¾~b¾c = ´ac¾b ¡ ´bc¾a ¡ ´ab¾c + i²abcd¾d:

[±1; ±2]Am = 2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)@nAm ¡ @m[2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)An];

Таким образом, алгебра оказывается замкнутой с точностью до уравнений движения и калибровочного преобразования. Появление компенсирующего калибровочного преобразования в алгебре является специфической особенностью суперсимметричных калибровочных теорий и не имеет места в обычной релятивистской теории поля. Причина появления компенсирующего калибровочного преобразования в алгебре преобразований суперсимметрии будет установлена ниже.

Как уже обсуждалось в предыдущем параграфе, вклады в супералгебру, которые пропорциональны уравнениям движения, в ряде случаев можно удалить, вводя в рассмотрение вспомогательные нединамические поля.

50