Обращение предиката в высказывание

Предикат можно обратить в высказывание двумя способами:

1 способ: путём подстановки в предикат конкретного значения переменной (переменных)

и пусть , где тогда - высказывание.

2 способ: путём навешивания кванторов.

Кванторы бывают двух видов:

1. квантор всеобщности, который выражается словами: любой, каждый, всякий, все, и обозначается: .

2. квантор существования: выражается словами: найдётся, существует, и обозначается .

Пусть на множестве Х задан одноместный предикат А(х). Предложение: для любого Х из множества Х выполняется А(х) – это высказывание, которое ложно, если найдется хотя бы одно значение переменной x Х, при котором А(х) обращается в ложное высказывание. Если таких значений переменной нет, то это предложение – истинное высказывание. Запишем это высказывание так: .

Предложение: существуют элементы x Х такие, что выполняется А(х) – высказывание, которое истинно, если существует хотя одно бы одно значение переменной из множества Х, при котором А(х) – истинное высказывание. Если таких значений нет, то это предложение ложное высказывание.

Запишем это высказывание так: .

Пусть - одноместный предикат. Навесим на него кванторы:

1) - высказывание. Определим его значение истинности.

Пусть x = 0. А(0): 0²- 1>0 – ложь - ложное высказывание.

2) - высказывание. Определим его значение истинности.

Пусть х = 2 . Тогда А(2): 2² - 1 > 0 – «И»

- истинное высказывание.

Операции над предикатами

Пусть на множестве Х задан предикат А(х).

Определение: Отрицанием предиката А(х), заданного на множестве Х называется предикат (не А(х), неверно, что А(х)), определённый на том же множестве X, который обращается в истинное высказывание при тех и только тех значениях переменной из Х, при которой предикат А(х) обращается в ложное высказывание.

Из определения следует, что и

Конъюнкция предикатов

Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х).

Определение:Конъюнкцией предикатовА(х) и В(х,) заданных на множестве Х, назовём предикат А(х) В(х) (А(х) и В(х)), заданный на том же множестве Х, который обращается в истинное высказывание при тех и только тех значениях переменной xХ, при которой оба предиката обращаются в истинное высказывание.

Из определения следует, что если известно и то

Дизъюнкция предикатов

Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х).

Определение:Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, назовём предикат А(х) В(х) (А(х) или В(х)), заданный на том же множестве Х, который обращается в ложное высказывание при тех и только тех значениях переменной x из множества Х, при которых оба предиката обращаются в ложное высказывание.

Из определения следует, что, если известны и , то

и

Импликация предикатов

Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х).

Определение: Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, назовём предикат А(х) В(х), заданный на том же множестве Х, который обращается в ложное высказывание при тех и только тех значениях x из Х, при которых А(х) обращается в истинное высказывание, а В(х) – в ложное высказывание.

Из определения следует, что, если известны и , то

, тогда по закону де Моргана

Эквиваленция предикатов

Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х).

Определение: Эквиваленцией предикатов А(х) и В(х) , заданных на множестве Х, назовём предикат А(х) В(х), заданный на том же множестве Х, который обращается в истинное высказывание тогда и только тогда, когда оба предиката истинны или оба предиката ложны одновременно.

На диаграмме множество истинности А(х) В(х) показано штриховкой.

Очевидно, что . Тогда .

Пример: На множестве N заданы предикаты А(х) и В(х).

А(х):

В(х):

Найдите множества истинности и ложности этих предикатов.

Замечание: Операцию навешивания кванторов называют квантификацией. Необходимо помнить, что в случае навешивания кванторов над многоместным предикатом квантором необходимо связать каждую переменную, ибо в противном случае получается предикат, а не высказывание.

Пример: двухместный предикат.

истинное высказывание.