- •Математика
- •Пересечение множеств
- •Вычитание множеств
- •Свойства операций над множествами
- •Число элементов в объединении конечных множеств и в дополнении к подмножеству
- •Контрольные вопросы:
- •Способы задания декартова произведения двух множеств
- •Основные свойства декартова произведения.
- •Раздел II. Элементы комбинаторики
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
- •Перестановки без повторений
- •Бином Ньютона
- •Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.
- •1. Правило симметрии:
- •Раздел III. Математические утверждения и их структура
- •Контрольные вопросы:
- •Отношения между понятиями
- •Способы определения понятий
- •Требования к определению понятий
- •Контрольные вопросы:
- •Высказывания и операции над ними
- •Операции над высказываниями
- •Отрицание высказываний
- •Законы отрицания:
- •Конъюнкция двух высказываний
- •Импликация высказываний
- •Закон контрапозиции
- •Эквиваленция двух высказываний
- •Обращение предиката в высказывание
- •Операции над предикатами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •Закон контрапозиции. Теоремы
- •Умозаключения. Анализ рассуждений. Простейшие правила вывода
- •Простейшие схемы дедуктивных умозаключений
- •Способы установления истинности умозаключения
- •Индуктивные умозаключения
- •Раздел IV. Соответствия
- •Контрольные вопросы:
- •Полный образ и полный прообраз
- •Способы задания соответствий
- •Типы соответствий
- •Отображения
- •Виды отображений
- •Отношения
- •Свойства отношений на множестве
Операции над высказываниями
Основой для выполнения операций над высказываниями являются логические связки.
Логические связки – это союзы: «и»; «или»; «если…, то»; частица «не»; слова «неверно, что»; «тогда и только тогда,…когда»; «если и только если,…если»; «либо, либо».
С помощью этих слов из высказываний строятся другие высказывания, а процедура эта называется операцией над высказыванием.
Отрицание высказываний
Определение: Отрицанием высказывания А называется высказывание «не А» (неверно, что А), которое истинно, если А - ложно и ложно, если А – истинно.
Операцию построения отрицания высказывания также называют отрицанием высказывания. Определение можно оформить с помощью таблицы истинности:
|
|
|
и |
л |
|
л |
и |
|
При построении отрицания А с помощью словосочетания «неверно, что» это словосочетание ставится перед всем предложением, частица «не» ставится перед сказуемым.
Например, А: 5 – 12 = 10 – ложное высказывание;
: Неверно, что 5 – 12 = 10 или 5 - 12 не равно 10: (5-12 ≠ 10).
В: Дети нашли три жёлудя – истинное высказывание;
: Дети не нашли три жёлудя (отрицание высказывания В) – ложное высказывание
- Неверно, что дети нашли три жёлудя. – ложное высказывание.
Законы отрицания:
Пусть дано высказывание – отрицание высказывания А, – отрицание отрицания А или двойное отрицание.
Закон двойного отрицания: .
Докажем его:
-
и
л
и
л
и
л
Очевидно, что А и одновременно истинны или ложны. А и равносильны: Например, пусть А: 5 – 12 = 10. Тогда : 5 – 12 ≠ 10. : 5 – 12 = 10. или : неверно, что 5 – 12 ≠ 10. Откуда .
Конъюнкция двух высказываний
Определение: Конъюнкцией двух высказываний А,В, называется высказывание
А и В , которое истинно в том и только в том случае, когда оба высказывания одновременно истинны.
Операцию построения конъюнкции двух высказываний также называют конъюнкцией.
Строится конъюнкция с помощью логической связки «и», обозначается: . И тогда высказывание «А и В» имеет вид: .
Таблица истинности конъюнкции
высказываний
А |
В |
|
и и л л |
и л и л |
и л л л |
Пусть даны высказывания: А: 5 – 12 = 10 – ложное высказывание:
В: Киев – столица Украины - истинное высказывание;
: (5 – 12 = 10) и Киев – столица Украины - ложное высказывание, т.к. одно из высказываний ложно, а второе истинно.
Замечание: В математической логике смысл предложения не является важным, главным является структура предложения.
А: 5 – 12 = - 7 – истинное высказывание;
В: Киев – столица Украины – истинное высказывание.
: ( 5-12 = -7) и Киев – столица Украины – истинное высказывание, т.к. оба высказывания истинны.
Определение: Дизъюнкцией двух высказываний А, В называется высказывание
А или В (), которое ложно тогда и только тогда, когда одновременно ложны оба высказывания А и В.
Операция построения дизъюнкции высказываний также называется дизъюнкцией.
Пример:
: (5 - 12 = 10) или Киев – столица Украины. – истинное высказывание, т.к. только одно из высказываний ложно.
Таблица истинности дизъюнкции
высказываний
-
А
В
и
и
л
л
и
л
и
л
и
и
и
л
Определение: Высказывание, которое ложно при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний называется абсолютно ложным и такое высказывание будем обозначать большой буквой Л.
Например: = Л – абсолютно ложное высказывание.
Определение: Высказывание, которое истинно при любых значениях входящих в него элементарных высказываний, называется абсолютно истинным. (И)
Пример: = И – абсолютно истинное высказывание.
Наши рассуждения можно представить в виде таблицы истинности:
-
и
л
Л
И
л
и
Л
И
Задание на дом: Выяснить, является ли высказывание абсолютно истинным: .