Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

Глава 6 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

6.1. Способ аксонометрического проецирования. Коэффициенты искажения

Комплексный чертеж является графически простым и удобно измеряемым. Но по нему не всегда легко представить предмет в пространстве. Необходим чертеж, дающий и наглядное представление. Он может быть получен при проецировании предмета вместе с осями координат на одну плоскость. В этом случае на одной проекции можно получить наглядное и метрически определенное изображение. Такие виды изо-

бражений называют аксонометрическими проекциями.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что фигура вместе с осями прямоугольных координат (к которым она отнесена в пространстве) проецируется на некоторую плоскость. Эту плос-

кость называют плоскостью аксонометрических проекций, или картинной плоскостью.

Взависимости от удаления центра проецирования от картинной плоскости аксонометрические проекции разделяют на центральные, когда центр проецирования находится на конечном расстоянии от картинной плоскости, и параллельные, когда центр проецирования находится

вбесконечности.

Вдальнейшем мы будем рассматривать только параллельное аксонометрическое проецирование.

Слово «аксонометрия» (от гр. axon − ось и metreo − измеряю) переводится как «измерение по осям». Аксонометрическое изображение дает возможность производить измерение изображаемого объекта по координатным осям x, y, z и по направлениям, им параллельным.

Построим аксонометрическую проекцию точки A, отнесенной к трем взаимно перпендикулярным плоскостям проекций (см. рис. 6.1).

Оси координат x, y, z называют натуральными осями координат.

Возьмем произвольный масштабный отрезок e (натуральный масштаб) и отложим его на осях, обозначив ex, ey, ez (e=ex=ey=ez). Спроецируем на картинную плоскость Q параллельными лучами точку A вместе с проекциями a, a', a'', координатными осями и масштабными отрезками

ex, ey, ez.

Введем некоторые наименования:

Q −плоскостьаксонометрическихпроекций(картиннаяплоскость); l − направление проецирования;

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

α – угол наклона направления проецирования l к плоскости аксонометрических проекций Q (картинной плоскости);

x1, y1, z1 −аксонометрическиеосикоординат(аксонометрическиеоси); A1 − аксонометрическая проекция точки A;

a1, a1′, a1" − вторичные проекции точки A; ex, ey, ez − масштабные отрезки;

ex1, ey1, ez1 − аксонометрические (вторичные) проекции масштабных отрезков.

l

α

Рис. 6.1

В зависимости от положения плоскостей проекций H, V, W, плоскости аксонометрических проекций Q и направления проецирования l координаты точки будут проецироваться с различными искажениями.

Отношение длины аксонометрической проекции масштабного отрезка к его истинной величине называется коэффициентом искажения по оси.

Обозначим эти коэффициенты:

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения по осям различают следующие аксонометрические проекции:

1.Изометрические, если m = n = k.

2.Диметрические, если m =k ≠ n или m = n ≠ k.

3.Триметрические, если m ≠ n ≠ k.

Наименование проекций произошло от древнегреческих слов: «isos» − одинаковый (изометрическая проекция − проекция с одинаковыми коэффициентами искажения по всем трем осям); «di» − двойной (диметрическая проекция − проекция с одинаковыми коэффициентами искажения по двум осям); «treis» − три (триметрическая проекция − проекция с разными коэффициентами искажения по всем трем осям).

В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости аксонометрических проекций Q аксонометрические проекции делятся на прямоугольные, если угол проецирования α = 90º, и косоугольные, α ≠ 90°.

Доказано, что сумма квадратов коэффициентов искажения удовлетворяет уравнениям:

В зависимости от положения в пространстве осей координат, плоскости аксонометрических проекций и направления проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга направлением аксонометрических осей и масштабов по ним.

Занимаясь теорией аксонометрии, немецкий геометр К. Польке в 1853 г. предложил теорему, названную основной теоремой аксонометрии: «Любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве». Первое обобщение и доказательство этой теоремы было дано в 1864 г. другим немецким геометром Г. Шварцем. С этого времени основная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке − Шварца.

Израссмотренноговышеможновывестиопределениеаксонометрии:

Аксонометрией называется изображение предмета на плоскости, отнесенное к определенной системе координат и выполненное в определенном масштабе с учетом коэффициентов искажения.

Из точки ax1 проводим прямую, параллельную оси y1, и на ней откладываем отрезок, равный координате yA точки A, получаем точку a1; из точки a1 проводим отрезок, параллельный оси z1 и равный координате zA точки A. Полученная точка A1 − изометрическая проекция точки Α.

Построение изометрии пятигранной пирамиды по ее чертежу показано на рис. 6.5, а шестигранной призмы – на рис. 6.6.

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

Рис. 6.5

Рис. 6.6

Проанализируем последовательность действий при построении изометрии пирамиды.

Сначала определяем координаты всех точек основания пирамиды. Затем по координатам x и y строим изометрию пяти точек − вершин основания пирамиды. Например, для построения изометрической проекции точки А по оси x1 от начала координат точки O1 откладываем отрезок, равный координате xA=a'd'. Из конца отрезка проводим прямую, параллельную оси y1. На ней откладываем отрезок, равный второй ко-

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

В верхнем основании обозначим вершины призматического отверстия (точки 5, 6, 7, 8). Строим аксонометрические проекции точек 6, 7, 8. Из этих точек проводим линии, параллельные оси z1, и на них откладываем zB - глубину отверстия. Полученные точки соединяем тонкими линиями (рис. 6.11, в).

Обводим видимые линии чертежа и убираем вспомогательные построения. Проводим линии штриховки сечений (рис. 6.11, г).

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях проводят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (рис. 6.12 − для изометрии, рис. 6.13 − для диметрии).

6.4.Изображение окружности и шара

впрямоугольной аксонометрии

Окружность в аксонометрии в общем случае проецируется в эллипс. При построении эллипса необходимо знать направление его осей и их размеры. Малая ось эллипса всегда должна быть перпендикулярна большой.

При построении проекции окружности, лежащей в одной из координатных плоскостей, малая ось эллипса направлена параллельно аксонометрической оси, не участвующей в образовании данной плоскости. Соответственно, большая ось эллипса ей перпендикулярна.

Изометрическая проекция окружности

При построении точной аксонометрии окружности величина большой оси эллипса равна величине диаметра этой окружности. При построении приведенной аксонометрии размеры увеличиваются в 1,22 раза. Поэтому величина большой оси эллипса составляет 1,22D, а величина малой оси – 0,71D. На рис. 6.14 показан графический способ определения размеров осей эллипса. Вычерчиваем окружность диаметра D, хорда AB = 0,71D (величина малой оси эллипса). Приняв за центр точки A и B, радиусом, равным AB, проводим дуги до их взаимного пересече-

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

ния. Полученные точки E и F соединяем прямой линией. EF=1,22D – величина большой оси эллипса.

Построим аксонометрические оси x1, y1, z1. В плоскости x1O1z1 выбираем произвольную точку О2. Через нее проводим прямые параллельно осям x1 и z1. На них откладываем отрезки, равные диаметру окружности. На линии, проведенной параллельно оси y1 (направление малой оси эллипса), откладываем отрезок, равный АВ (малую ось эллипса). Перпендикулярно малой оси строим большую ось эллипса, равную

EF (рис. 6.15).

Соединив полученные 8 точек, получим эллипс. Для построения эллипса можно использовать и другой способ.

Построение эллипсов в других плоскостях не отличается по своему характеру, меняется только направление большой и малой осей эллипса.

Диметрическая проекция окружности

В изометрии величины большой и малой осей эллипса остаются одинаковыми независимо от плоскости, в которой расположена окружность. В диметрии постоянной остается только величина большой оси, равная 1,06D. В плоскостях горизонтальной H и профильной W малая ось эллипса составляет 0,35D, а в плоскости фронтальной V малая ось равна 0,94D.

Для определения величин осей эллипса графическим способом построим прямоугольный треугольник (см. рис. 6.16).

Катеты треугольника равны 100 мм и 35 мм. Гипотенуза при этом равна 106 мм. Отложим по большому катету значение, равное диаметру окружности D (отрезок AB). Отрезок BC будет равен 0,35D, т. е. будет равен значению малой оси эллипса для плоскостей H и W.

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

Рис. 6.16

Отрезок AC равен 1,06D, т. е. значению большой оси эллипса. Если мы отложим величину диаметра D по гипотенузе (отрезок AK), затем из точки K опустим перпендикуляр на большой катет треугольника, то отрезок AE будет равен значению 0,94D, т. е. величине малой оси эллипса для плоскости V.

Изображение окружности в прямоугольной диметрической проекции показано на рис. 6.17.

Например, для по-

О2 параллельно осям x1

и z1 проводим прямые и на

них откладываем величины, равные диаметру окружности. На линии, проведенной параллельно оси

y1 откладываем значение, равное 0,94D (величину малой оси эллипса). Пер-

пендикулярно малой оси строим большую ось эл-

липса, равную 1,06D. Полученные точки соединяем плавной линией.

Изображение шара и тора

В прямоугольной параллельной аксонометрии шар изображается окружностью.

При построении шара по натуральным показателям искажения его аксонометрической проекцией будет окружность, диаметр которой равен диаметру изображаемого шара.

При построении изображения шара по приведенным показателям диаметр окружности увеличивается в соответствии с увеличением коэффициентовискажения: визометрии−в1,22 раза, вдиметрии– в1,06 раза.