Условная вероятность

16. Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится па пять.

17. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что:

а) первый студент взял «хороший» билет;

б) второй студент взял «хороший» билет;

в) оба студента взяли «хорошие» билеты.

18. Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) из урны, содержащей М белых и (N–М) черных шаров. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятность выигрыша первого участника, если:

а) N = 4, М = 1; б) N = 5, M = 1; в) N = 7, М = 2.

19. Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар, то объявляется ничья. Пусть А₁ = {выигрывает игрок, начавший игру}, А₂ = {выигрывает второй участник}, В = {игра закончилась вничью}. Найти вероятности событий Р(А₁),Р(А₂),Р(В).

Формула полной вероятности

20. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй — 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну, Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

21. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных, а во второй — 1 белый и 7 красных. В первую урну добавляются два шара, случайно выбранных из второй урны. Найти вероятность того, что шар, выбранный из пополненной первой урны, будет белым.

22. Из урны, содержащей М белых и (N–М) черных шаров, утеряно r шаров. Сравнить вероятности извлечения белого шара:

а) до утери; б) после утери при r =1; в) после утери при r > 1.

23. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7 % имеют первую, 37,5 % — вторую, 20,9 % — третью и 7,9 % — четвертую группы крови.

а) Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

б) Найти вероятность того, что переливание можно осуществить, если имеются два донора.

Формула байеса

24. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й урнах — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна, если извлеченный шар оказался белым?

25. По каналу связи передается одна из последовательностей букв AAAA, BBBB, CCCC с вероятностями p₁, p₂, p₃ (p₁+ p₂+ p₃=1). Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью α и с вероятностями ½(1— α) и ½(1— α) принимается за каждую из двух других букв. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано AAAA, если принято ABCA.

26. В урне находится 3 черных и 2 белых шара. Первый игрок по схеме выбора без возвращения извлекает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если среди вынутых шаров больше было черных; в противном случае возвращается белый шар. Второй игрок после этого извлекает один шар и по его цвету должен угадывать число белых шаров среди трех шаров, вынутых первым игроком. Найти условную вероятность того, что у первого игрока было:

а) 0 белых, б) 1 белый, в) 2 белых шара,

если второй игрок вытащил белый шар.