Основные законы магнитных цепей

В основе расчета магнитных цепей лежат два закона (см. табл.5.9.).

Основные законы магнитной цепи

Таблица 5.9.

Наименование закона	Аналитическое выражение закона	Формулировка закона
Закон (принцип) непрерывности магнитного потока		Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю.
Закон полного тока		Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.

При анализе магнитных цепей и, в первую очередь, при их синтезе обычно используют следующие допущения:

- магнитная напряженность, соответственно магнитная индукция, во всех точках поперечного сечения магнитопровода одинакова ();

- потоки рассеяния отсутствуют (магнитный поток через любое сечение неразветвленной части магнитопровода одинаков);

- сечение воздушного зазора равно сечению прилегающих участков магнитопровода.

Это позволяет использовать при расчетах выражения законов Кирхгофа и Ома для магнитных цепей (см. табл. 5.10), вытекающие из законов, сформулированных в таблице 5.9.

Законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей

Таблица 5.10.

Наименование закона	Аналитическое выражение закона	Формулировка закона
Первый закон Кирхгофа		Алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитопровода равна нулю.
Второй закон Кирхгофа		Алгебраическая сумма падения магнитного напряжения вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме МДС, действующих в контуре.
Закон Ома	, где	Падение магнитного напряжения на участке магнитопровода длинной равно произведению магнитного потока и магнитного сопротивленияучастка.

Сформулированные законы и понятия магнитных цепей позволяют провести формальную аналогию между основными величинами и законами, соответствующими электрическим и магнитным цепям, которую иллюстрирует табл. 5.11.

Аналогия величин и законов для электрических и магнитных цепей

Таблица 5.11.

Электрическая цепь	Магнитная цепь
, А – ток	, Вб – поток
, В – ЭДС	, А – МДС
, Ом - электрическое сопротивление	, Гн-1 – магнитное сопротивление
, В – электрическое напряжение	, А – магнитное напряжение
- первый закон Кирхгофа	- первый закон Кирхгофа
- второй закон Кирхгофа	- второй закон Кирхгофа
- закон Ома	- закон Ома

Неразветвленная магнитная цепь

Магнитные цепи можно разделить на неразветвленные и разветвленные.

В неразветвленных магнитных цепях магнитный поток в любом сечение одинаков.

В разветвленных – магнитные потоки в различных сечениях различны.

В общем случае магнитные цепи имеют сложную конфигурацию. Например, в электродвигателях, генераторах.

Магнитные цепи в большинстве нелинейны.

Задачей расчета неразветвленных магнитных цепей является в большинстве случаев определение МДС, необходимой для получения заданного значения магнитного потока в некотором участке магнитопровода. При этом должны быть известны конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи и магнитные свойства ферромагнитного материала (кривая намагничивания). Такая задача называется прямой.

Расчет неразветвленной магнитной цепи по заданному потоку

Рассмотрим последовательность расчета магнитной цепи изображенной на рисунке 5.4.

Рис.5.4. Неоднородная магнитная цепь.

Дано: геометрические размеры магнитной цепи в мм; магнитный поток Ф или индукция в каком-либо сечение; кривая намагничивания.

Определить: МДС .

Задачу решаем, применив закон полного тока .

1. Разбиваем магнитную цепь на участки постоянного сечения и определяем длинны (м) участков и площади их поперечного сечения(м2). Длины участков берем по средней силовой линии. Величина воздушного зазора равна(м).

,,,,

2. Исходя из постоянства магнитного потока (), пренебрегая потоком рассеяния, по заданному потоку находим магнитную индукцию(Тл) на участках:

,,. (1)

3. По кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля (А/м) в магнитопроводе:

,.

Магнитная проницаемость воздуха Гн/м и напряженность магнитного поля в зазоре рассчитывается по формуле

. (2)

4. Подсчитываем сумму падений магнитного напряжения и определяем МДС:

. (3)

Между расчетами нелинейных магнитных цепей с постоянными МДС и расчетом нелинейных электрических цепей постоянного тока нетрудно установить аналогию.

Если в уравнении (3) заменить значение напряженности магнитного поля значениями индукции, получим:

,

с учетом (1):

,

где - магнитное сопротивление к-го участка магнитопровода. Оно нелинейно, т.к. зависимостьнелинейна.

С учетом этого рассматриваемой магнитной цепи соответствует эквивалентная схема замещения (рис.5.5), для анализа которой можно пользоваться всеми методами анализа электрических цепей с нелинейными сопротивлениями.

Рис.5.5. Эквивалентная схема замещения.

Обратная задача. Считая известной м.д.с. F , определим магнитный поток Ф.

Рис.5.6. Алгоритм решения обратной задачи.

Произвольно задаемся магнитным потоком Ф и определяем магнитную индукцию В

,

далее по заданной кривой намагничивания (рис.5.6, а) определяем напряженность Н.

При заданном значении Ф определяем F по второму закону Кирхгофа (рис.5.6, б).

.

Производим аналогичный расчет для нескольких точек. Строим зависимость Ф = f(F). Истинное значение Ф определяем по точке пересечения полученной кривой и заданной м.д.с. F (рис.5.7).

Рис.5.7. Зависимость магнитного потока от намагничивающей силы.

Пример. В неразветвленной магнитной цепи с длинной средней линии 0,4 м и воздушным зазором мм необходимо создать магнитную индукциюТл. Магнитопровод выполнен из электротехнической стали 1512. Определить напряженность поля в магнитопроводе и воздушном зазоре, ток намагничивающей обмотки с числом витков.

Решение. Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре А/м. По кривой намагничивания (рис.5.15) находим напряженность поля магнитопроводаА/м.

Намагничивающая сила обмотки по закону полного тока

А.

Следовательно, ток обмотки А.

Рис.5.8. Кривые намагничивания стали.

Пример. На кольцевой однородный магнитопровод (рис.5.9) намотана намагничивающая обмотка с числом витков . Наружный диаметр кольцамм; внутренний диаметрмм, его поперечное сечение квадратное. Определить ток и магнитодвижущую силу обмотки, необходимые для создания в магнитопроводе потокаВб. Чему равно магнитное сопротивление магнитопровода, если он выполнен из электротехнической стали 3411?

Рис.5.9.Кольцевой однородный магнитопровод

Решение. Ток обмотки рассчитывается по формуле . Для нахождениянеобходимо определить индукцию, где сечением2. Следовательно, индукцияТл. Воспользовавшись рис.5.7 для стали 3411, можно найти напряженность магнитного поляА/м.

Искомое магнитное сопротивление определяется из соотношения . Длина средней силовой линии в данном случаем. Найдя токА, можно определить намагничивающую силуА и магнитное сопротивлениеГн-1.

Катушка индуктивности с магнитопроводом в цепи синусоидального напряжения

Основным элементом конструкции различного рода электрических машин и аппаратов, устройств электроавтоматики, промышленной электроники, вычислительной техники является катушка индуктивности.

При наличие магнитопровода в катушке индуктивности (такая катушка называется дросселем) значительно возрастает магнитный поток, так как магнитная проницаемость ферромагнитного сердечника на несколько порядков больше магнитной проницаемости воздуха.

При подключении катушки с магнитопроводом к источнику синусоидального напряжения по обмотке катушки протекает переменный ток, магнитодвижущая силасоздает магнитное поле, индуктивность которого характеризуется магнитной индукциейи магнитным потоком.

В реальном дросселе большая часть магнитных линий замыкается по сердечнику (основной магнитный поток). Другая часть магнитных линий охватывает отдельные витки и группы витков обмотки, замыкается по воздуху и, частично, по магнитопроводу (поток рассеяния рис.5.10).

Рис.5.10. Катушка индуктивности с магнитопроводом.

Переменный магнитный поток индуктирует в обмотке ЭДС самоиндукции .

Если пренебречь сопротивлением обмотки и потоком рассеяния, то по второму закону Кирхгофа ЭДС самоиндукции уравновешивается величиной входного напряжения

или.

Из этого уравнения получаем закон изменения во времени магнитного потока:

или,

т.е. при синусоидальном напряжении на входе катушки, магнитный поток в магнитопроводе также синусоидален.

Если величину амплитудного значения магнитного потока выразить через действующее значение напряжения и линейную частоту , то

.

Поскольку действующие значения напряжения и ЭДС самоиндукцииодинаковы, то

.

Данное соотношении применяют для расчетов ЭДС, индуктируемых в обмотках трансформаторов и называют уравнением трансформаторной ЭДС.

Выясним, какова зависимость между током катушки индуктивности и магнитным потоком при синусоидальном питающем напряжении.

По заданной петле гистерезиса и зависимости построим кривую тока (рис.5.11).

Рис.5.11. Форма кривой тока.

Из графика видно, что при синусоидальном потоке из-за нелинейности характеристики , т.е.ток несинусоидален. Ток и магнитный поток достигают максимальных значений одновременно, но ток опережает магнитный поток по фазе на угол.

Следовательно, при питании синусоидальным напряжением ток в катушке с ферромагнитным сердечником искажает свою форму и является несинусоидальным во времени.

Для упрощения расчетов несинусоидальный ток заменяют эквивалентным синусоидальным, имеющим одинаковое с несинусоидальным током действующее значение и развивающим одинаковую с ним активную мощность.

Схема замещения и векторная диаграмма реальной катушки с магнитопроводом

Обмотка реальной катушки с сердечником обладает активным сопротивлением . Магнитный поток является векторной суммой основного потока в магнитопроводе и потока рассеяния

.

Величина основного потока определяется свойствами материала магнитопровода. Поток рассеяниязависит от конструкции обмотки, взаимного расположения витков, их сечения и составляетот основного потока. Потокосцепление рассеяния пропорционально току:

,

где - индуктивность рассеяния обмотки.

С учетом активного сопротивления обмотки и потокосцепления рассеяниянапряжение на входе катушки

.

Таким образом, реальную катушку с магнитопроводом можно представить схемой замещения в виде последовательного соединения ,и идеализированной катушки (рис.5.12). У идеализированной катушки обмотка не имеет сопротивления и рассеяния. Свойства идеализированной катушки зависят только от параметров магнитопровода и режима его намагничивания.

Рис.5.12. Схема замещения катушки индуктивности с сердечником.

Напряжение уравновешивает ЭДС индукции идеализированной катушкии опережает магнитный поток на.

Переход к эквивалентным синусоидам тока дает возможность записывать все соотношения в комплексной форме и пользоваться векторными диаграммами.

Комплексное действующее значение входного напряжения запишется в виде

.

Схема замещения идеализированной катушки зависит от параметров магнитопровода и режима его намагничивания. Если предположить, что магнитопровод изготовлен из ферромагнетика с линейной зависимостью , тои выражение напряжения на входе катушки:

,

где - индуктивность идеализированной катушки.

Схема замещения реальной катушки для этого случая и соответствующая ей векторная диаграмма рис..

Рис. Схема замещения реальной катушки индуктивности и реальная векторная диаграмма.

При учете потерь, обусловленных гистерезисом и вихревыми токами в сердечнике (зависимость петлевая), ток в обмотке катушки опережает магнитный поток на угол потерьи может быть разложен на две составляющие.

Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением и называется током потерь, она определяется через мощность потерь в стали.

Реактивная составляющая тока отстает от напряжения на, называется током намагничиванияи определяется из закона полного тока.

В комплексной форме ток .

Комплексное полное сопротивление идеализированной катушки:

.

Заменив идеализированную катушку последовательным соединением иполучаем схему замещения реальной катушки для рассматриваемого случая (рис.5.14,а)

Рис. Последовательная и параллельная схема замещения нелинейной катушки индуктивности.

Переход от последовательной схемы замещения идеализированной катушки к параллельной (рис.5.15,б) проводится по формулам:

;.

Векторная диаграмма реальной катушки индуктивности с магнитопроводом, имеющим петлевое намагничивание представлена на рис.5.22.

Рис.Векторная диаграмма реальной нелинейной

катушки индуктивности.

При расчетах полное сопротивлении катушки индуктивности с магнитопроводом находят по закону Ома . Оно определяется главным образом индуктивным сопротивлением().

Приближенно, пренебрегая активным сопротивлением обмотки и рассеянием магнитного потока, можно определить индуктивность из соотношенияили вычислить по потокосцеплению:

, где.

Эквивалентное активное сопротивление катушки определяется по значению активной мощности и току:

.

Пример. Катушка со стальным сердечником подключена к источнику синусоидального напряжения В, частотойГц. Действующее значение тока в обмотке катушкиА, мощность потерьВт. Сопротивление обмоткиОм.

Определить параметры схемы замещения нелинейной катушки. Магнитным рассеянием пренебречь.

Рис.5.16. Реальная нелинейная катушка индуктивности.

Решение. Мощность потерь в катушке с магнитопроводом состоит из тепловой мощности в обмотке (в меди) и потерь в магнитопроводе (в стали):

.

Потери в обмотке (Вт).

Потери в стали (Вт).

Коэффициент мощности .

На векторной диаграмме (рис.5.23,б) в треугольнике напряжений со сторонами ,,уголнаходится против стороны, следовательно,

Активная и реактивная составляющие тока катушки:

(А),

(А).

Сопротивления активной и индуктивной ветвей схемы замещения:

(Ом),

(Ом).

Откуда, (Гн).

ТРАНСФОРМАТОРЫ

Устройство и принцип действия

Трансформатором называется электромагнитный статический (т.е. без движущихся частей) аппарат, предназначенный для преобразования электрической энергии синусоидального тока одного напряжения в другое напряжение той же частоты.

Трансформатор имеет не менее двух обмоток, электрически изолированных друг от друга, связанных между собой посредством общего магнитного потока. Работа трансформатора основывается на явлении взаимной индукции (принцип электромагнитного взаимодействия обмоток). Для усиления магнитной связи обмотки трансформатора размещаются на сердечнике, собранном из листовой электротехнической стали.

Электромагнитная схема трансформатора представлена на рис.2.3.

Рис.2.3. Электромагнитная схема идеализированного трансформатора.

На замкнутом ферромагнитном сердечнике расположены две обмотки. К одной из них – первичной – подводится энергия от источника питания. От другой – вторичной обмотки – энергия отводится к приемнику. Все величины (ЭДС, напряжение, ток, число витков), относящиеся к обмоткам, называют соответственно первичными и вторичными. Буквенные значения этих величин снабжаются индексами 1 и 2 соответственно.

Под действием подаваемого синусоидального напряжения в первичной обмотке трансформатора возникает токи МДСвозбуждает в сердечнике синусоидальный магнитный поток. Этот поток, замыкаясь по сердечнику, пронизывает витки обеих обмоток и индуктирует в них ЭДСи. По второму закону Кирхгофауравновешивает,создаетна выходных зажимах трансформатора. При замыкании вторичной цепи возникает ток, который образует собственный магнитный поток, направленный, согласно правилу Ленца, встречно магнитному потокуи стремится его уменьшить. В результате в сердечнике создается общий магнитный поток, сцепленный с обеими обмотками и определяющий в них результирующие ЭДСи.

Поскольку , то при неизменном значенииЭДСтоже постоянна. Т.к.зависит от потока (), то и магнитный поток при любой нагрузке можно считать постоянным.

Чтобы результирующий магнитный поток оставался неизменным, магнитный поток вторичной обмотки должен быть уравновешен магнитным потоком первичной обмотки. Поэтому при увеличении нагрузкиувеличивается ток.