3.1.3. Законы постоянного тока

1) Закон Ома – это экспериментальный закон, согласно которому сила тока, текущего по проводнику, пропорциональна напряжению на концах проводника и обратно пропорциональна его сопротивлению.

.

(13)

Соотношение (13) иначе называют законом Ома в интегральной форме записи. Это соотношение можно распространить на отдельные участки и всю замкнутую электрическую цепь, учитывая формулы (10), (11), (12) и внутреннее сопротивление источника тока r. При этом получим частные случаи закона Ома:

а) неоднородный участок цепи (рис. 2):

.

(14)

Формулу (14) называют обобщённым законом Ома в интегральной форме записи;

б) однородный участок цепи (рис. 3):

;

(15)

в) цепь замкнута (рис. 4):

.

(16)

Электрическое сопротивление (R) характеризует противодействие проводника электрическому току и зависит от формы, размеров и материала проводника. Измеряется сопротивлениеRв омах (Ом).

Для однородного цилиндрического проводника длиной lи поперечным сечениемS:

,

(17)

где ρ– удельное сопротивление проводника. Оно зависит от материала проводника и условий протекания тока, в частности, от температуры. Для большинства металлов при температурах, близких к комнатной, удельное сопротивление изменяется пропорционально температуреT:

,

(18)

где ρ₀– удельное сопротивление проводника при 0ºС (T = 273 К). Удельное сопротивлениеρизмеряется в ом-метрах (Ом·м).

Закон Ома в дифференциальной форме записи можно получить, если рассмотреть бесконечно малый участок проводника длинойdlи поперечным сечениемdS(рис. 5).

Рис. 5. К выводу закона Ома в дифференциальной форме записи (обозначения в тексте)

Сопротивление этого участка:

.

(19)

Напряжение на концах проводника dU, совпадающее с разностью потенциалов, связано с напряжённостьюEэлектрического поля соотношением:

.

(20)

Через сечение dSтечёт ток, плотность которого согласно соотношению (4):

.

(21)

Подставляя значения RиUпо формулам (19) и (20) в закон Ома (13), получаем:

,

откуда:

,

или, с учётом соотношения (21),

,

(22)

где – удельная проводимость проводника.

Учитывая, что направления исовпадают, соотношение (22) можно записать в векторном виде:

.

(23)

Это и есть дифференциальная форма записи закона Ома для однородного участка проводника. На неоднородном участке, кроме электростатического поля с напряжённостью , действует поле сторонних сил, напряжённость которого –_стор; в этом случае:

.

(24)

Соотношение (24) является законом Ома в дифференциальной форме записи для неоднородного участка проводника.

2) Закон Джоуля-Ленца характеризует тепловое действие тока. При протекании электрического тока проводник нагревается, при этом выделяется количество теплотыQ_т, определяемое соотношениями:

.

(25)

3) Правила Кирхгофа значительно упрощают расчёт разветвлённых электрических цепей. Пример такой цепи показан на рис. 6.

Рис. 6. Разветвлённая электрическая цепь

Правил Кирхгофа два:

а) I правило Кирхгофа относится к узлам электрической цепи.

Узлом цепи называется точка, в которой сходится не менее трёх проводни­ков. В схеме на рис. 6 два узла – В и К.

Согласно Iправилу Кирхгофа алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

(26)

Прежде чем применять Iправило Кирхгофа, необходимо проставить направления токов и значения сил токов в различных ветвях электрической цепи (ветвь – участок цепи, соединяющий узлы). Если трудно указать истинное направление тока, его проставляют произвольно. Если направление тока на каком-то участке проставлено неверно, то значение силы тока на этом участке в результате решения задачи получается отрицательным. Условились считать, что токи, входящие в узел (текущие к узлу), считаются положительными, и при записи соотношения (26) берутся со знаком "+", а токи, выходящие из узла, – со знаком "–". Например, для узла К соотношение (26) примет вид:

.

(27)

Iправило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда для цепей постоянного электрического тока. В случае постоянного тока заряды в узлах накапливаться не должны, и количество зарядов, входящих в узел, должно равняться количеству зарядов, выходящих из узла. Если в цепиNузлов, то линейно независимых уравнений можно записать только для (N–1) узла, уравнение дляN-ого узла будет следствием предыдущих. Например, уравнение для узла В (рис. 6) будет повторением уравнения (27);

б) II правило Кирхгофа является следствием закона Ома и относится к любому выделенному в разветвлённой цепи замкнутому контуру.

Согласно этому правилу сумма падений напряжений равна сумме действующих в контуре ЭДС:

.

(28)

Так как по закону Ома , то соотношение (28) можно записать так:

.

(29)

Прежде чем применять IIправило Кирхгофа к какому-либо контуру, в нём совершенно произвольно выбирается направление обхода (например, по часовой стрелке). При этом напряжение считается положительным и берётся в уравнении (29) со знаком "+", если ток на данном сопротивлении совпадает с направлением обхода контура. ЭДС источника берётся в уравнении (29) со знаком "+", если источник создаёт ток (при условии, что других источников тока нет) в направлении обхода контура. Например,IIправило Кирхгофа для контура АМКВ (рис. 6) будет иметь следующий вид:

.

(30)

Видим, что удобнее было бы взять направление обхода контура в противоположную сторону.

Для контура ВКДС соотношение (29) запишется так:

.

(31)

Уравнение (29) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить в разветвлённой цепи (на рис. 6 их три: АМКВ, ВКДС, АМДС). Однако независимыми будут уравнения только для тех контуров, которые нельзя получить наложением других, уже использованных (например, контур АМДС является суммой контуров АМКВ и ВКДС). Оказывается, что количество независимых уравнений, составленных в соответствии с IиIIправилами Кирхгофа, равно числу различных токов, текущих в разветвлённой электрической цепи. Решая совместно уравнения (27), (30), (31), можно найти любые три неизвестные характеристики электрической цепи, показанной на рис. 6.