Приложение. Исследование электрического поля постоянных токов

Заземлитель выполнен в виде металлического шара радиуса , расположенного в земле на глубине(рис. П1). Ток стекает через заземлитель в землю и растекается по её толще. В задаче принято, что второй электрод находится очень далеко. Земля играет роль обратного провода.

Исходные данные: =50 см,=5 м, удельная проводимость землиСм/м, ток короткого замыкания=1000 А, расстояние между точкамии(шаговое расстояние)=0,8 м, предельное шаговое напряжениеВ.

Необходимо определить:

- Сопротивление заземления .

- Шаговое напряжение между точкамии.

- Предельный ток , соответствующий предельному шаговому напряжению.

- Аналитическое выражение для определения потенциала в любой точке внутри земли, необходимое для построения картины эквипотенциальных линий.

- Порядок графического построения картины эквипотенциальных линий во время компьютерного моделирования.

- Аналитические выражения для составляющих плотности тока (составляющихнапряжённости электрического поля) в любой точке внутри земли, необходимые для построения картины линий тока.

- Порядок графического построения картины линий тока во время компьютерного моделирования.

Рис. П1

Аналитическое решение

Для определения сопротивления заземления необходимо знать потенциал шара. Чтобы найти потенциал шара, применим метод зеркальных изображений. Линии тока заземлителя на поверхности земли не имеют нормальных составляющих, идут вдоль поверхности. Поэтому электрическое поле шара в неоднородной проводящей среде будет аналогично электрическому полю двух шаров в однородной среде в том случае, когда на зеркальном изображении будет ток того же знака, что и на шаровом заземлителе (рис. П2).

Потенциал, создаваемый каждым из шаров в произвольной точке, найдём в предположении, что можно пренебречь искажением поля, вносимым другим шаром, в силу значительно большего расстояния между шарами, чем радиус шара. Окружим уединённый заземлитель сферой радиуса . В силу симметрии плотность тока на поверхности сферы направлена по нормали к ней и во всех точках имеет величину:

. (1)

По закону Ома в дифференциальной форме напряжённость поля равна:

. (2)

Теперь потенциал найдётся интегрированием:

,

причём, если принять, что при, то, и потенциал

. (3)

Рис. П2

Потенциал двух шаров в произвольной точке (см. рис. 2) найдём сложением:

. (4)

Опустим точку на поверхность 1-го шара. При этом,,

.

Сопротивление шарового заземлителя:

. (5)

Теперь найдём шаговое напряжение между точкамии. Для точки:; для точки:. Потенциалы:

,

и шаговое напряжение:

. (6)

Предельный ток , соответствующий предельному шаговому напряжению:

. (7)

Формула (4) будет представлять формулу для нахождения потенциала в любой точке пространства, необходимую для построения картины эквипотенциальных линий во время компьютерного моделирования, если ввести систему координат (см. рис. 2) и в ней расписать расстояния, :

. (6)

Тогда

. (7)

Формулы для составляющих плотности тока (составляющихнапряжённости электрического поля) в любой точке внутри земли, необходимые для построения картины линий тока, получим из соотношений:

.

Окончательно:

. (8)