импульса: ε = р2/2т. Фотоны же не имеют массы покоя, и их энергия зависит от импульса линейно, а не квадратично: ε = рс. Это и является причиной указанного выше отличия.

8. Вырожденный Бозе-газ. Конденсация Бозе - Эйнштейна

Рассмотрим свойства Бозе-газа при низких температурах, когда эффекты вырождения играют важную роль. Это видно уже из того, что у Бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при Т = 0, должно быть состояние с Е = 0, когда все

частицы находятся в квантовом состоянии с εk = 0. Такое состояние возможно благодаря тому, что в статистике Бозе в данном квантовом состоянии может находиться любое число частиц.

Полное число частиц в Бозе-газе определяется формулой

(1)

Если перейти от суммирования по дискретным квантовым состояниям к к интегрированию по непрерывно изменяющейся энергии частицы ε, то получается уравнение

Если понижать температуру Т, то химический потенциал μ, определяемый соотношением (3), будет увеличиваться, т.е. будучи отрицательным, уменьшаться по абсолютной величине. Химпотенциал достигает своего наибольшего значения μ=0 при некоторой температуре Т=То, которая определяется уравнением,

получающимся из (2) при μ = 0 и Т =То, т.е. уравнением

(4)

Интеграл равен 2.3, так что

(4а)

откуда

(5)

При Т < То , т.е. при понижении температуры Бозе-газа частицы должны скапливаться в состоянии с наименьшей энергией ε=0, пока при Т = 0 они не

перейдут туда все.

Поэтому при Т < То дело обстоит следующим образом. Частицы с ε>0 распределены по формуле, соответствующей распределению Бозе при μ=0:

Полное число этих частиц

(6)

Это выражение переходит в выражение для полного числа частиц N, если Т —> То. Из соотношений (4а) и (6) легко получить

Остальные частицы находятся в квантовом состоянии с ε=0. Их число

Эти частицы не дают вклада ни в энергию Бозе-газа, ни в давление, ни в энтропию. Величины Е, Р и S определяются частицами с ε>0. Из выражения для No видно, что число покоящихся частиц стремится к нулю при Т —>То и стремится к N при Т —>0. Таким

образом, при Т—>0 все частицы скапливаются на основном уровне с ε=0. Это явление называется конденсацией Бозе - Эйнштейна.

Подчеркнем, что в данном случае речь идет не об обычной конденсации, т.е. переходе газа в жидкость, а о конденсации в импульсном пространстве, при которой накапливаются

покоящиеся частицы (ε=р2/2т=0).