диплом киры
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
«Допустить к защите»
_____________________
Заведующий кафедрой МАТФ д.ф.-м.н., доцент
Клячин Алексей Александрович
«__» ______________ 2012 г.
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
по направлению подготовки бакалавров «Математика»
«ОБОБЩЕНОЕ РЕШЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА МОДЕЛЬНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ»
Выполнил: студент гр. Мб-081
Пучков Кирилл Андреевич
______________________________
Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор:
Лосев Александр Георгиевич
______________________________
Волгоград, 2012
Содержание
1. |
Введение |
3 |
|
2. |
Вспомогательные утверждения |
|
|
|
2.1 |
Оператор Бельтрами-Лапласа на сферически симметричном многообразие |
3 |
|
2.2 |
Спектральное уравнение |
5 |
|
2.3 |
Ограниченные решения дифференциального уравнения второго порядка в |
|
|
нормальной форме |
6 |
|
3. |
Ограниченные решения Гельмгольца на сферически симметричном многообразие 6 |
||
4. |
Заключение |
11 |
|
5. |
Литература |
11 |
1.Введение
Вданной работе изучается поведение ограниченных решений уравнения Гельмгольца
на некомпактных римановых многообразиях некоторого специального вида. В разделе 2.1 мы рассмотрим вид оператора Бельтрами-Лапласа на сферически симметричном многообразии, затем в пункте 2.2 получим так называемое спектральное уравнение и приведем его к нормальному виду. Используя теорему 1(Осцилляционная теорема) из пункта 2.3, сформулируем условия теоремы 2 и теоремы 3 .
2.1 Оператор Бельтрами-Лапласа на сферически симметричном многообразие
Пусть сферически симметричное многообразие. Опишем данное многообразие подробнее.
Фиксируем начало координат и некоторую гладкую функцию на интервале такую, что .
Определим наше многообразие следующим образом:
1) Множество точек является открытым шаром в радиуса , с центром
в т.е. все
2)в полярных координатах (где и ) риманова метрика на определяется как
где стандартная риманова метрика на сфере (в дальнейшем )
3) риманова метрика в является гладким продолжением метрики
Рассмотрим на решения следующего уравнения
где - гладкая, неотрицательная функция. Будем считаем, что на выполнены
условия |
|
. |
|
|
|
|
|
||
Найдем вид оператора |
|
|
в координатах |
|
. Пусть |
|
риманов метрический |
||
|
|
||||||||
тензор на , |
|
|
, а |
|
элементы матрицы |
|
(т.е. контравариантные координаты |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
метрического тензора). |
|
|
|
|
|
|
|
В заданной метрике имеем
где определитель матрицы метрического тензора в метрике на римановом многообразии . Из вида метрики сразу следует, что
где элемент обратной матрицы метрического тензора на .
Подставляя полученные выражение в общую формулу оператора Лапласа-Бельтрами:
,
получаем
Вычисляя производные по переменной , получим
где
.
Следовательно
общий вид оператора
2.2 Спектральное уравнение и приведение его к нормальной форме.
Пусть ортонормированный базис в из собственных функций оператора а соответствующие собственные числа. Будем считать, что собственные числа пронумерованы
в порядке возрастания, то есть выполнено Тогда для любого имеем:
где
Подставим в |
и получим, что для любого индекса функция |
|
является решением уравнения |
т.е. для любого индекса функция является решением обыкновенного дифференциального уравнения
Данное уравнение играет важную роль при изучении свойств решений уравнения . В дальнейшем будем называть его спектральным.
Приведем уравнение к так называемой нормальной форме, т.е. к следующему виду
Произведём замену переменных
,
Подставим данные выражения в уравнение и получим, после сокращений, следующее:
Используя обозначение , приведем наше дифференциальное уравнение к нормальному виду
2.3 Ограниченные решения дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме.
Для исследования свойств решений дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме существует ряд теорем. Следующая теорема позволяет нам утверждать, что при выполнении ряда условий все решения уравнения
стремятся к нулю на бесконечности.
Теорема 1(Осцилляционная теорема) Если для любого |
выполнены следующие |
||
условия: |
|
непрерывна и ограничена, то все решения уравнения |
|
|
ограничены, имеют бесконечно много нулей, причем амплитуды колебаний монотонно
убывают. Если кроме того |
, то все решения уравнения |
стремятся к |
нулю при |
|
|
3. Ограниченные решения Гельмгольца на сферически симметричном многообразие
Введем следующее обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема 2 Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Пусть |
существует |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполнены |
следующие условия: |
||||
|
|
|
непрерывна и ограничена при |
|
|
тогда |
на |
существует |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
ограниченное решение |
уравнения |
|
|
имеющее предел равный |
нулю при |
|
Доказательство |
|
Из условия теоремы следует, что для некоторого |
выполнено: |
для всех |
|
непрерывна и ограниченной вариации, кроме того |
. |
|
Пусть |
, то есть |
и |
. Тогда из |
следует, что |
является решением |
|||
уравнения . Ясно, что |
|
для любого |
. Пусть |
на |
||||
интервале |
|
функция |
|
и |
, следовательно в силу непрерывности и |
|||
ограниченности |
, |
|
|
на интервале |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя теорему 1 для дифференциального уравнения в нормальной форме, получим, что
, и следовательно .
Учитывая, что можно утверждать следующее: существует ограниченное решение
уравнения , |
такое что |
При этом оно не зависит от |
Теорема доказана.
Пример Пусть оложим Заметим, что
.
выполнены следующие условия:
непрерывна и ограниченной вариации. То есть выполняются условия теоремы 2, и следовательно существует нетривиальное ограниченное решение уравнения имеющее предел равный нулю при Например
Пусть |
|
риманово многообразие изометричное прямому произведению |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
с метрикой |
Здесь |
– |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
положительная, гладкая на |
функция, а |
|
|
метрика на |
В дальнейшем будем считать, что |
|||||
|
|
Теорема 3 Пусть монотонно убывают, причём
для любого На многообразии выполнено условие
где |
|
а |
из уравнения (2). Тогда для любого ограниченного решения |
|
уравнения (2) существует |
|
|
, не зависящий от |
|
Доказательство |
|
|
|
|
В координатах |
на |
оператор |
имеет вид |
где внутренний лапласиан на . Формула проверяется непосредственно по определению оператора Лапласа-Бельтрами.
Пусть ортонормированный базис в из собственных функций оператора а соответствующие собственные числа. Будем считать, что собственные числа пронумерованы
в порядке возрастания, то есть выполнено Тогда для любого имеем:
где
Из следует, что для любого индекса функция является решением обыкновенного дифференциального уравнения
Докажем сначала, что в условиях теоремы |
|
|
|||||||
для любого номера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из ограниченности |
и |
следует ограниченность |
|
для любого номера |
|||||
Дважды интегрируя уравнение |
|
, получаем равенство |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где числа |
|
любые. |
|
|
|
|
|
|
Легко показать, что если при каком-то |
выполнено |
|
|
|
причем |
и |
||
не равны 0 одновременно, то из |
следует, что |
|
|
при |
. Тогда из |
|
||
|
|
|
||||||
ограниченности |
следует, что для любого |
либо |
|
, |
|
|||
либо |
. В первом случае по теореме единственности |
|
. Покажем, что во |
|||||
втором случае имеет место |
Домножив при необходимости на -1, можно считать, что при всех |
|||||||
|
|
. . Таким образом |
монотонно возрастает и |
|
Пусть
Тогда при некотором и всех выполнено
Покажем, что условие противоречит расходимости интеграла . Заметим, что
Перепишем равенство в виде
где
-монотонно убывающая функция в силу отрицательности . Если
то из следует, что при .. Поэтому
и, стало быть, выполнено равенство
Тогда из следует, что
Так как выполнено
Тем самым, для любого выполнено
Тогда из предположения получаем, при . Следовательно, справедливо Докажем далее, что для любой константы выполнено
Используя формулу Грина и определение , для получаем
Применяя формулу Грина раз (где произвольное натуральное число)получим
Применяя к правой части неравенство Коши-Буняковского, имеем
где константа зависящая от .Так как компакт, то из асимптотики Вейля следует, что существует положительная константа такая, что при достаточно больших выполнено
где константа зависящая от .
Поэтому, учитывая неравенство , получаем
где константа зависящая от .
Заметим, что для достаточно больших
Из теоремы* следует справедливость неравенства , где и константы, зависящие от . Тогда справедливы следующие неравенства
и при достаточно большом ряд сходится. Следовательно ряд абсолютно и равномерно. Учитывая, что можно показать следующее равенство