Logic шпора

17 . Обращение суждений.

Суждение – это форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается, и которая принимает логическое значение истинности или ложности. Обращение - преобразование суждения, в результате которого в заключении субъект исходного суждения становится предикатом, а предикат – субъектом. Схема: S есть Р. Р есть S.

Обращение подчиняется правилу распределенности терминов в суждениях, согласно которому субъект распределен в общих и не распределен в частных суждениях, предикат распределен в отрицательных и не распределен в утвердительных суждениях. В соответствии с этим правилом различают простое (чистое) обращение и обращение с ограничением.

Простым (или чистым) называется обращение без изменения количества суждения. Оно бывает тогда, когда и S и Р распределены или не распределены.

Если же предикат исходного суждения не распределен, то он не может быть распределен и в заключении, где он является субъектом. Поэтому его объем ограничивается. Такое обращение называется обращением с ограничением. Иными словами, обращение с ограничением получается тогда, когда изменяется количество исходного суждения, т.е. изменяется кванторное слово ( так «все» меняется на «некоторые» и наоборот).

Схема обращения суждения А (Р не распр):

Все S суть Р. Некоторые Р суть S

Простое обращение: Все квадраты – равносторонние прямоугольники. Все равносторонние прямоугольники – квадраты.

С ограничением: “Все студенты нашей группы (S) сдали экзамены (Р не распр)”. Следовательно, некоторые сдавшие экзамены – студенты нашей группы”. Обращая суждение, необходимо опираться на правило вывода: термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении. => становясь S выводного суждения, Р также не может быть распределен. Его объем ограничивается (“некоторые ”).

Схема обращения суждения Е. Так как в нем и S, и Р распр., то его обращение простое.

“Ни один студент нашей группы не является неуспевающим. Следовательно, ни один неуспевающий не является студентом нашей группы”. Ни одно S не есть Р. Ни одно Р не есть S

Частноутвердительное суждение (I).

Простое обращение. Р, не распределенный в исходном суждении, не распределен и в выводном суждении. “Некоторые студенты нашей группы – отличники. Следовательно, некоторые отличники – студенты нашей группы”. Некоторые S cуть Р. Некоторые Р суть S

С ограничением. Когда Р распределен, S нет. «Некоторые музыканты – композиторы. Все композиторы – музыканты». Было некоторые, стало все. Некоторые S cуть Р. Все Р суть S

Частноотрицательное суждение (О), как правило, не обращается. «Некоторые животные не являются собаками. ???».

18 . Превращение суждений.

Суждение – это форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается, и которая принимает логическое значение истинности или ложности.

Превращение суждения – изменяется качество посылки без изменения ее количества, при этом Р заключения является отрицанием предиката посылки, т.е. преобразование суждения в суждение, противоположное по качеству с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения. Схема: S есть Р. S не есть не-Р. При этом частноутвердительное суждение превращатется в частноотрицательное и наоборот, а общеутвердительное – в общеотрицательное и наоборот.

Превращать можно любые категорические суждения: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные.

Общеутвердительное суждение (А) превращается в общеотрицательное (Е). Записывается А → Е. Все S суть Р. Ни одно S не есть не-Р. «Все волки – хищные животные. Ни один волк не является нехищным животным».

Общеотрицательное суждение (Е) превращается в общеутвердительное (А). Е → А Ни одно S не есть Р. Все S суть не-Р. «Ни одна ель не является лиственным деревом. Все ели – нелиственные деревья».

Частноутвердительное суждение (I) превращается в частноотрицательное (О). I → O Некоторые S cуть Р.Некоторые S не суть не-Р Например: “Некоторые грибы съедобны. Некоторые грибы несъедобны».

Частноотрицательное суждение (О) превращается в частно­утвердительное (I). О → I Некоторые S не суть Р. Некоторые S суть не-Р Например: “Некоторые из присутствующих не являются совершеннолетними. Следовательно, некоторые из присутствующих являются несовершеннолетними”.

Таким образом, чтобы превратить суждение, нужно заменить его связку на противоположную, а предикат – на понятие, противоречащее предикату исходного суждения. Суждение, полученное посредством превращения, сохраняет количество, но изменяет качество исходного суждения. Субъект исходного суждения не изменяется. Заключения, полученные с помощью этой логической операции, содержат новые знания о предмете.

19. Противопоставление предикату.

Противопоставление предикату - это непосредственное умозаключение, при котором в заключении предикатом является субъект, а субъектом – понятие, противоречащее предикату исходного суждения, связка же меняется на противоположную.

Непосредственное умозаключение – дедуктивное умозаключение, делаемое из одной посылки. Схема: S есть Р. не-Р не есть S. То есть, мы вместо Р берем не-Р, меняем местами не-Р и S, связку меняем на противоположную. Противопоставление предикату является сложной операцией, состоящей из двух других - превращения, а затем обращения результата превращения. Так, если взять суждение типа А - "Все рыцари - благородные люди", то в результате превращения его мы получим суждение типа Е с понятием, отрицающим предикат посылки, - "Ни один рыцарь не является неблагородным человеком". Подвергнув же это суждение обращению, мы получим суждение типа Е с отрицанием предиката посылки (не-Р) на месте субъекта - "Ни один неблагородный человек не является рыцарем". Что и вытекает из общего правила для противопоставления предиката.

Для А. Все S есть Р. Ни одно не-Р не есть S. (пример с рыцарем).

Для Е. Ни одно S не есть Р. Некоторые не-Р есть S. Ни одна поганка не является съедобным грибом. Некоторые несъедобные грибы – поганки.

Для О. Некоторые S не есть Р. Некоторые не-Р есть S. Некоторые студенты – отличники. Некоторые неотличники – студенты.

Для I правило не работает. Из такого суждения мы не можем осуществить однозначного противопоставления предикату, так как в результате превращения такого суждения образуется частно-отрицательное суждение типа О, которое не имеет однозначного формального обращения. Поэтому, частно-утвердительное суждение не имеет формального противопоставления предикату.

20. Закон тождества.

Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически: А → А; если А, то А. Например: «Если дом высокий, то он высокий», «Если трава черная, то она черная» и т.п.

«В процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должно быть тождественным самим себе». Пример нарушения: Материя вечна. Сукно – материя. Сукно вечно. В процессе рассуждения нельзя подменять одно понятие другим. Часто такая ошибка возникает из-за слов омонимов.

В приложениях закона тождества к конкретному материалу с особой наглядностью обнаруживается общая черта всех логических законов. Они представляют собой тавтологии, как бы повторения одного и того же и не несут содержательной, «предметной» информации. Это — общие схемы, отличительная особенность которых в том, что, подставляя в них любые конкретные высказывания (как истинные, так и ложные), мы обязательно получим истинное выражение.

21. Закон противоречия.

Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т.е. о высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания «Луна - спутник Земли» и «Луна не является спутником Земли», «Трава — зеленая» и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом — это же самое отрицается.

Если обозначить буквой А произвольное высказывание, то выражение не-А (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания.

Идея, выражаемая законом противоречия: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными.

Используя вместо высказываний буквы, эту идею можно передать так: неверно, что А и не-А. Неверно, например, что трава зеленая и не зеленая, что Луна — спутник Земли и не спутник Земли и т.п.

Закон противоречия выражается формулой: ~ (A & ~ A), неверно, что А и не-А.

Закон противоречия говорит о противоречивых высказываниях — отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости — отсюда другое распространенное понятие — закон непротиворечия. Если применить понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и ложным.

Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным.

22. Закон исключенного третьего.

Закон исключённого третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным, другое ложным, а третьего не дано.

Символически: A v ~ А, А или не-А. Например: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее» и т.п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет. Человек говорит прозой или не говорит прозой, собака выполняет команду или не выполняет ее и т.п. — других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива или противоречива.

Отрицающие пары суждений: Это S есть Р. Это S не есть Р (единичные суждения); Все S есть Р. Некоторые S не есть Р (суждения А и О); Ни одно S не есть Р. Некоторые S есть Р (Суждения Е и I). В отношении пар А и О, Е и I действует как данный закон, таки закон противоречия. В этом их сходство. Но например в паре А Е будет действовать только закон противоречия: Все грибы съедобны. Ни один гриб не является съедобным. Они оба могут быть ложными, но не истинными.

23. Закон достаточного основания

Закон достаточного основания – согласно этому закону, для того, чтобы признать высказывание о предмете истинным, должно быть указано достаточное основание. Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованна. Ложные мысли обосновать нельзя. Был сформулирован в XVII в. Лейбницем. У этого закона нет формулы, у него только содержательный характер. В доказательстве аргументами для подтверждения тезиса служат единичные факты, аксиомы, постулаты. В настоящее время выделяется достаточное условие (основание, необходимость), которое не является достаточным, но тем не менее не противоречит закону, это что-то ранее доказанное, аксиомы, леммы, данные эксперимента и т.д.

24. Общая характеристика умозаключения. Виды умозаключений.

Умозаключение – это форма мысли, в результате которой выводится новое знание на основе раннее известного. Раннее известное знание называется посылками, новое заключением. Все рыбы дышат жабрами (1-ая посылка), карась рыба (2-ая посылка), карась дышит жабрами (заключение). Логический переход от посылок к заключению – вывод.

По составу или по структуре все умозаключения делятся на 2-е группы: Непосредственные – это такие умозаключение, заключение в которых выводится из одной посылки. Все львы хищники, нет львов, которые не были бы хищниками. Посредственные – это такие умозаключения, заключение в которых выводится из 2-х и более посылок.

По характеру логического следования все умозаключения делятся на 2-е группы:

Дедуктивные (необходимые) – между посылками и заключением которых имеет место отношение логического следования. Отношение логического следования имеет место тогда и только тогда, когда: 1. Посылки связанны по смыслу. 2. Импликация если А, то В, является логическом законом, то есть тождественно-истинной формой.

Тождественно-истинная формула – это формула, принимающая логическое значение истины при всех наборах логических значений входящих в неё переменных.

Для выяснения дедуктивного суждения: 1) Символически выразить посылки и заключение. 2) Присоединить посылки к друг другу логическим союзом конъюнкция и получить то, что обозначается как совокупность посылок, то есть основание импликации. 3) присоединить посылки и заключение логическим союзом импликация. 4) Построить таблицу истинности для полученного выражения и проверить является ли оно логическим законом. Если нет, тогда будет вероятностным.

Не дедуктивные (вероятностные) – это такие умозаключения, между посылками и заключениями которых не имеет место отношение логического следования.

25. Простой категорический силлогизм.

Термин силлогизм – от греч. syllogismos – выведение следствия.

Категорический силлогизм (или просто: силлогизм) — это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических высказываний выводится новое категорическое высказывание.

Выражения «Все ... есть ...», «Некоторые ... есть ...», «Все ... не есть ...» и «Некоторые ... не есть...» рассматриваются как логические постоянные, т.е. берутся как единое целое. Это не высказывания, а определенные логические формы, из которых получаются высказывания путем подстановки вместо многоточий каких-то имен. Подставляемые имена называются терминами силлогизма. Существенным является следующее традиционное ограничение: термины силлогизма не должны быть пустыми или отрицательными.

В силлогизме, как и во всяком дедуктивном умозаключении, в заключении не может содержаться информация, отсутствующая в посылках. Заключение только развертывает информацию посылок, но не может привносить новую информацию, отсутствующую в них.

Примером силлогизма может быть:

Все жидкости упруги.

Вода — жидкость.

Вода упруга.

В каждом силлогизме должно быть три термина: меньший, больший и средний.

Меньшим термином называется субъект заключения (в примере таким термином является термин «вода»). Большим термином именуется предикат заключения («упруга»). Термин, присутствующий в посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним («жидкость»). Меньший термин обозначается обычно буквой S, больший — буквой Р и средний — буквой М. Посылка, в которую входит больший термин, называется большей. Посылка с меньшим термином называется меньшей. Большая посылка записывается первой, меньшая — второй. Логическая форма приведенного силлогизма такова:

Все М есть Р.

Все S есть М.

Все S есть Р.

26. Фигуры и модусы категорического силлогизма.

Фигуры кат. силл. различаются по положению среднего термина в посылках (является он субъектом или предикатом в большей и меньшей посылках). Различаются четыре фигуры силлогизма.

1. Все птицы (М) имеют крылья (Р).

Все страусы (S) — птицы (М).

Все страусы имеют крылья.

2. Все рыбы (Р) дышат жабрами (М).

Киты (5) не дышат жабрами (М).

Все киты, не рыбы.

3. Все бамбуки (М) цветут один раз в жизни (Р).

Все бамбуки (М) — многолетние растения (S)

Некоторые многолетние растения цветут один раз в жизни.

4. Все рыбы (Р) плавают (М). ..

Все плавающие (М) живут в воде (S).

Некоторые живущие в воде — рыбы.

Посылками и заключениями силлогизмов могут быть категорические суждения четырех видов: SaP, SiP, SеР и SoP.

Силлогизмы, как и все дедуктивные умозаключения, делятся на правильные и неправильные. Задача логической теории силлогизма — систематизировать правильные силлогизмы, указать их отличительные черты.

Модусами силлогизма называются разновидности фигур, отличающиеся характером посылок и заключения.

Всего с точки зрения всевозможных сочетаний посылок и заключения в каждой фигуре насчитывается 64 модуса. В четырех фигурах 4 х 64 = 256 модусов. Из всех возможных модусов силлогизма только 24 модуса являются правильными, по шесть в каждой фигуре. Из них 5 модусов ослабленны, т.е. их заключения О и I. Итого 19.

1-я фигура: Barbara, Celarent, Darii, Ferio,

2-я фигура: Cesare, Camestres, Festino, Baroco,

З-я фигура: Barbari, Cesaro, iai, oao, aii, eio

4-я фигура: aai, aee, iai, eao, eio

В каждом из этих названий содержатся три гласных буквы. Они указывают, какие именно категорические высказывания используются в модусе в качестве его посылок и заключения. Так, название Celarent означает, что в этом модусе первой фигуры большей посылкой является общеотрицательное высказывание (SeP), меньшей — общеутвердительное (SaP) и заключением — общеотрицательное высказывание (SeP).

1 2 3 4

27. Общие правила категорического силлогизма.

Кат. силлогизм – вид дедуктивного умозаключения, в кот. из 2х категорических высказываний получается новое. Для того, чтобы получить истинное заключение, надо брать истинные посылки и соблюдать следующие правила.

Правила терминов.

1. Должны быть только 3 термина (SPM), ошибка учетверение термина. Движение вечно, хождение в университет это движение, хождение в университет вечно. В 1-ой посылке термин употребляется в общефилософском смысле, во второй – конкретный вид механического передвижения

2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок. Все гусеницы едят салат. Я ем салат. Я гусеница. При анализе силлогизма рассматривать где больший, где меньший термин, надо с конца. Необходимо квалифицировать ошибку: Надо найти S, M, P. В заключении первый термин всегда – меньший, второй – всегда больший, тот термин, который не указан в заключении, но присутствует в посылках - средний. Обозначить распределённость терминов в посылках и заключении. Та посылка, которая содержит больший термин, называется большей. Та, которая меньший – меньшей.

3. Термин, не распределённый в посылке, не может быть распределён в заключении. «Во всех городах за полярным кругом есть белые ночи. СПб не за полярным кругом. В СПб нет булых ночей». Р вывода распределен, а в посылке нет.

Правила посылок

1. Из 2-ух отрицательных посылок нельзя получить достоверную. Одна из посылок должна быть утверждающим суждением. Ни один папоротник никогда не цветёт. Данное растение не цветёт. Данное растение – папоротник.

2. Из 2-ух частных посылок заключение не следует с необходимостью, оно будет неопрелделенным. 1-а из посылок должна быть общим суждением. Некоторые учащиеся являются студентами. Некоторые дворники являются учащимися. Некоторые дворники-студенты.

3. Если 1-а из посылок является отрицательным суждением, то и заключение должно быть отрицательным. Все гейзеры – горячие источники. Это источник не горячий. Это не гейзер.

4. Если одна из посылок является частным суждением, то и заключение должно быть частным. Все христиане выступают за мир на земле. Некоторые студенты – христиане. Некоторые студенты за мир на земле.

28. Первая фигура категорического силлогизма, ее модусы.

Возьмем силлогизм:

Все металлы (М) ковки (Р)

Железо (S) — металл (М).

Железо (S) ковко (Р).

Отношения между тремя терминами этого силлогизма (модус Barbara) представляются тремя концентрическими кругами. Эта схема интерпретируется так: если все М (металлы) входят в объем Р (ковких тел), то с необходимостью S (железо) войдет в объем Р (ковких тел), что и утверждается в заключении «Железо ковко». Правило первой фигуры: Большая посылка должна быть общей. Меньшая утвердительной.

!(Celarent, Darii, Ferio)!

29. Энтимема.

В обычных рассуждениях нередки силлогизмы, в которых не выражается явно одна из посылок или заключение. Такие силлогизмы называются энтимемами ( в переводе «в уме). Примеры энтимем: «Щедрость заслуживает похвалы, как и всякая добродетель», «Он — ученый, поэтому любопытство ему не чуждо», «Керосин — жидкость, поэтому он передает давление во все стороны равномерно» и т.п. В первом случае опущена меньшая посылка «Щедрость — это добродетель», во втором — большая посылка «Всякому ученому не чуждо любопытство», в третьем — опять-таки большая посылка «Всякая жидкость передает давление во все стороны равномерно».

Для оценки правильности рассуждения в энтимеме следует восстановить ее в полный силлогизм.

30. Язык логики высказываний.

31. Определение формулы логики высказываний.

Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний.

Логика высказываний — это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:

1) неограниченное множество переменных: А, В, С, ... , А₁, В₁, С₁, ..., представляющих высказывания;

2) особые символы для логических связок: & — «и», v — «или», v (с точкой наверху) — «либо, либо», → — «если, то», ↔ — «если и только если», ~ — «неверно, что»;

3) скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка.

Чтобы использовать меньшее количество скобок операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность.

Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание «Сейчас день», В — высказывание «Сейчас светло» и С — высказывание «Сейчас холодно», то формула: А → В v С, иди со всеми скобками: (А → (В v С)), представляет высказывание «Если сейчас день, то сейчас светло или холодно». Формула: В & С → А, или ((В & С) → А), представляет высказывание «Если сейчас светло и холодно, то сейчас день». Формула: ~ B → ~ A, или ((~ B) → (~A)), представляет высказывание «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.

32. Семантические таблицы логических союзов.

33. Построение таблицы истинности для данной формулы.

Логика высказываний исходит из следующих двух допущений: 1.всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (принцип двузначности); 2.истинное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями союзов. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением. Согласно принятым определениям:

— конъюнкция (и) истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны;

— дизъюнкция (или)истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее

высказываний истинно;

— строгая дизъюнкция (или) истинна, когда одно из входящих в нее

высказываний истинно, а второе ложно;

— импликация (если.. то) истинна в трех случаях: ее основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны;

— эквивалентность (если и только если) истинна, когда два приравниваемых в ней

высказывания оба истинны или оба ложны;

— отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот.

С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно. Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний. Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.

Покажем для примера что формула (A → B) → (~ B → ~ A) является тавтологией. Для этого переберем варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний. В результирующей колонке таблицы встречается только значение «истинно», т.е. формула является всегда истинной