Экон. мат. моделирование

2.ai 1 – единичное количество ресурса Ai ( i 1, n ), например: один работник; одно транспортное средство; одна научная тема и т.д.

3.b j 1 – единичное количество работы B j ( j 1, m ), например: одна должность; один маршрут; одна лаборатория.

4.cij – характеристика качества выполнения работы B j с помощью

ресурса Ai . Например, компетентность i-го работника при работе на j-й должности; время, за которое i-е транспортное средство перевезет груз по j- му маршруту; степень квалификации i-й лаборатории при работе над j-й научной темой.

Общий вид транспортной матрицы задачи о назначениях

Алгоритм метода потенциалов.

1. Построение начального опорного плана. Система ограничений (1)-

(2) содержит m n неизвестных и m+ n уравнений, связанных отношением

положительных компонент. Таким образом, если каким-либо способом получен невырожденный опорный план задачи, то в матрице (xij) значений его компонент положительными являются только m + n – 1, а остальные равны нулю.

41

Клетки, в которых находятся отличные от нуля перевозки, называются занятыми, остальные – незанятыми. Занятые клетки соответствуют базисным неизвестным, и для невырожденного опорного плана их количество равно m + n.

Для построения начального опорного плана применим метод минимальной стоимости.

2. Построение системы потенциалов. Система потенциалов строится для невырожденного опорного плана и имеет вид:

ui j cij ,

где cij - стоимость перевозки единицы груза занятой (базисной) клетки в i – ой строке и j-ом столбце или время выполнения работы.

Вычисление потенциалов удобно проводить по таблице, положив равным нулю один из потенциалов и затем последовательно находя все остальные потенциалы вычитанием из стоимостей базисных клеток уже известных потенциалов. Потенциалы поставщиков ui записывают справа, а

потенциалы потребителей j - внизу транспортной таблицы.

3. Проверка опорного плана на оптимальность. Для каждой свободной клетки вычисляют оценки

ij cij ui j .

Если ij 0, то опорный план оптимален и задача решена. В

противном случае план не является оптимальным, следовательно, его нужно улучшить.

4. Построение цикла и нахождение нового опорного плана.

перевозок полагаются равными нулю. При построении начального опорного плана в этом случае фиктивные клетки заполняются в последнюю очередь.

3.4. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОМУ ЗАДАНИЮ №3

43

44

45

Три завода производят одно и то же изделие, которое отправляется четырем потребителям. Известно, что I завод поставляет 90 вагонов изделий, II – 30 вагонов, III – 40 вагонов. Для потребителей требуется: первому – 70 вагонов, второму – 30, третьему – 20 и четвёртому – 40. Стоимость (в руб.) перевозки одного вагона между каждым поставщиком и потребителем указаны в следующей таблице:

Определить минимальный по стоимости план перевозок.

Груз, хранящийся на складах, в каждом соответственно 60, 80 и 106 машин, требуется перевезти в четыре магазина. В первый магазин требуется 44 машины, во второй – 70, в третий – 50, в четвёртый – 82. Стоимость прогона одной машины за 1 км составляет 10 коп. расстояния между складами и магазинами указаны в таблице:

Составить оптимальный по стоимости план перевозки груза из складов в магазины.

На четырех авиалиниях используются три типа самолетов. В табл. заданы эксплуатационные расходы для каждого типа самолета.

Требуется распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы суммарные эксплуатационные расходы были минимальными.

46

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №4

" НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ”

4.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Научиться аналитически исследовать производственные функции и решать задачи нелинейной оптимизации.

4.2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Прочитайте условие задачи и согласно номеру варианта выберите данные к задаче из таблицы.

2.Решите задачу, ответив на все вопросы и найдите оптимальный план по ресурсам методами Лагранжа и подстановки.

3.Сделайте чертеж к задаче.

Перед решением задач по данной теме следует изучить следующие теоретические вопросы:

1.Производственная функция Кобба-Дугласа.

2.Предельные ресурсы. Эффект от расширения масштабов производства.

4.Решение задач нелинейной оптимизации. Метод подстановки. Метод множителей Лагранжа.

Какое количество продукта получается при этом плане?

Построить соответствующую изокванту.

Для плана (64, 81) найти первый, второй предельные продукты, дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

Предполагая, что производитель приобретает ресурсы по ценам и найти самый дешевый (оптимальный) план по ресурсам,

обеспечивающий выпуск такого же количества продукции.

В зависимости от цен и количества затраченных в производстве ресурсов издержки составят G(x) w1 x1 w2 x2 , где (x1 , x2 ) – план производства по

47

затратам ресурсов. Мы имеем задачу условной оптимизации с условием в виде равенства:

Найти аналитически решение этой задачи o методом Лагранжа

o методом подстановки.

Сделать геометрическую иллюстрацию решения задачи, изобразив ОДР и целевую функцию линиями уровня.

Решение

Для начала выясним, какое количество продукта получается при этом плане. Для этого подставим в ПФ значения x10 64 и x20 81 . Получим

f (64,81) 4(64)1/ 2 (81)1/ 4 96(ед.) .

Построим изокванту – уровень производственной функции. Изоквантой называется множество планов производства, дающих одинаковый объем выпускаемой продукции.

Затраты первого и второго ресурсов для всех планов производства, обеспечивающих выпуск 96 единиц продукции, связаны уравнением:

Графиком полученной функции в пространстве ресурсов является изокванта, соответствующая выпуску 96 единиц продукции.

x2

x*

81

Затраты на покупку ресурсов при данном плане составят:

x10 w1 x20 w2 64 5 81 3 563(ден.ед.)

48

Вычислим первый и второй предельный продукты для плана x 64,81 – это частные производные ПФ:

Экономический смысл частных производных ПФ

Предельный продукт первого ресурса при данном плане равен 3/4, это означает, что при увеличении затрат первого ресурса на единицу и неизменных затратах второго выпуск продукции увеличится примерно на 3/4

ед.

Предельный продукт второго ресурса при данном плане равен 8/27, это означает, что при увеличении затрат второго ресурса на единицу и неизменных затратах первого выпуск продукции увеличится примерно на 8/27

ед.

Решим задачу условной оптимизации аналитическими методами. В

Решение методом подстановки.

Допустимое множество задачи, определяемое уравнением связи

f x 4x11/ 2 x21/ 4 96 0,

представляет собой неограниченную кривую, график которой приведен выше. Вопрос о существовании решения задачи остается открытым.

Выразим из уравнения связи переменную x1 :

Подставим ее в функцию G(x):

Получилась функция от одной переменной, для которой мы должны найти наименьшее значение на (0, ∞).

Вычислим производную: G x2 5 288x2 3/ 2 3.

Легко видеть, что G имеет единственную критическую точку x2* 4 602 / 3.

Вычислим вторую производную функции: G x2 2160 .

x25 / 2

49