Экон. мат. моделирование

Вид окна "Поиск решения" для задачи с булевыми переменными, представленной на рис.1.18, приведен на рис.1.20.

Рис.1.20. Окно "Поиск решения" для задачи с булевыми переменными, представленной на рис.1.18

Возможные ошибки при вводе условий задач ЛП

Если при решении задачи ЛП выдается сообщение о невозможности нахождения решения, то возможно, что причина заключается в ошибках ввода условия задачи в Excel. Поэтому, прежде чем делать вывод о принципиальной невозможности нахождения оптимального решения задачи, ответьте на вопросы из табл.1.4.

21

1.4. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОМУ ЗАДАНИЮ №1

Используя MS Excel, найти решение для модели ЛП, соответствующей заданному варианту (табл.1.5).

Таблица 1.5

23

L( X ) 12x2 89x3 5x5 max;

2x1 9,6x2 15,7x3 22x4 8x5 73,

0,9x 1 11,1x2 4,3x3 1,5x4 6,4x5 19, 7 14x1 45x2 38x4 26x5 49,

220x1 150x2 3x3 95x5 133,x j 0 j 1,5 .

24

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2 “ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ”

2.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков построения математических моделей и решения задач ЛП графическим методом.

2.2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Согласно номеру своего варианта выберите условие задачи и постройте

еематематическую модель.

2.Найдите оптимальное решение задачи, используя графический метод.

Перед решением задач по данной теме следует изучить следующие теоретические вопросы:

1.Общая постановка задачи ЛП.

2.Методы и приемы решения задач ЛП.

3.Геометрический метод.

Для построения математической модели необходимо ответить на следующие три вопроса.

1.Что является искомыми величинами, то есть переменными этой

задачи?

2.В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать наилучшему, то есть оптимальному, решению?

3.Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, описанные в задаче?

25

Задача 2.1.

Задача планирования производства (задача об использовании ресурсов).

Постановка задачи

Коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фабрики по изготовлению и продаже двух видов краски для внутренних работ и наружных работ. Краска поступает в продажу по цене 3000 руб. и 2000 руб. за 1 т. Для производства красок используют два вида сырья: А и В, Максимально возможные суточные запасы которых составляют 3 и 4 т соответственно. Расход сырья на производство 1 т красок приведен в табл.(2.1). Изучение конъюнктуры спроса на рынке сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышал спроса на краску для наружных работ более чем на 1,5 т, а спрос на краску для внутренних работ не превышал 2 т в сутки. Какое количество краски каждого вида необходимо производить фабрике, чтобы доход от ее реализации был максимальным.

Построение модели

I этап построения модели заключается в определении (описании, задании, идентификации) переменных. В данной задаче искомыми неизвестными величинами являются суточные объемы производства каждого вида красок:

х1 - суточный объем производства краски для наружных работ (т краски / сутки);

х2 - суточный объем производства краски для внутренних работ (т краски

/сутки).

II этап построения модели заключается в построении целевой функции, представляющей цель решения задачи. В данном случае цель – это максимизация прибыли, получаемой от продажи красок всех видов в течение суток. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих

видов, необходимо знать объемы производства красок, т. е. х1 и х2 т краски в сутки, а также цены на краски для наружных и внутренних работ – согласно условию 2000 и 3000 руб. за 1 т краски соответственно. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства краски для наружных работ равен

26

2000 х1 руб. в сутки, от продажи краски для внутренних работ - 3000 х2 руб. в сутки, таким образом ЦФ имеет вид

III этап построения модели заключается в задании ограничений, моделирующих условия задачи. Возможные объемы производства красок х1 и х2 ограничиваются следующими условиями:

количество сырья А и В, израсходованного в течение суток на производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;

согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства краски для внутренних работ может превышать объем производства для наружных работ не более чем на 1,5 т краски, а спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает 2 т краски в сутки;

объем производства красок не может быть выражен отрицательными значениями.

Таким образом, все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные:

1.расходом сырья;

2.рыночным спросом на сырье

3.неотрицательностью объемов производства.

Ограничения по расходу любого сырья:

Левая часть ограничений – это расчет суточного расхода конкретного ресурса на производство красок. Так, из условия известен расход сырья А на производство 1 т краски для наружных работ (0,5 т сырья А) и 1 т краски для внутренних работ (1 т сырья А). Тогда на производство x1 т краски для наружных работ и x2 т краски для внутренних работ потребуется 0,5x1 1х2 т сырья А.

Правая часть ограничения – это величина суточного запаса сырья на складе, например 3 т сырья А в сутки. Таким образом, ограничения по расходу сырья А имеет вид:

27

Примечание Важным моментом проверки правильности составления ограничений является проверка совпадения единиц измерения левой и правой частей ограничения.

Аналогично записывается ограничение по расходу сырья В.

Ограничения по суточному объему производства краски для наружных работ:

Ограничения по суточному объему производства краски для внутренних работ:

Неотрицательность объемов производства:

х1 0, х2 0

Таким образом, математическая модель задачи 2.1 имеет вид:

Итак, экономико-математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти такой план производства продукции Х х1; х2 , удовлетворяющий системе ограничений (2.2), при котором целевая функция (2.1) принимает максимальное решение.

Решение задачи графическим методом.

Шаг 1. На плоскости Х1ОХ2 построим прямые (рис. 2.1)

0,5х1 х2 3, х1 0,5х2 4, х2 х1 1,5,

х2 2

28

Линия уровня

Рис. 2.1. Построение ОДР для задачи 2.1.

Шаг 5. Перпендикулярно вектору N строим линию уровня (опорное решение). Шаг 6. Линию уровня перемещаем вдоль вектора N для нахождения

наибольшего значения до самой удаленной точки ОДР. В нашей задаче самая удаленная точка – точка С.

Шаг 7. Определим координаты точки С. Она находится на пересечении прямых

(1) и (4). Записав систему уравнений этих прямых, найдем координаты:

0,5х1 х2 3,

х2 2

29

Итак, для того чтобы доход от реализации красок всех видов был бы наибольший и составлял 10 тыс. руб., необходимо производить краски для наружных работ 2 тыс. т, а краски для внутренних работ тоже 2 тыс. т.

2.3. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОМУ ЗАДАНИЮ №2

Составить экономико-математическую модель и решить задачу графическим методом.

30