3.5. Определение относительного положения пунктов по разностям фаз

Если фазовые измерения псевдодальностей до одного и того же спутника выполнены одновременно в двух пунктах, то они содержат очень близкие по величине погрешности орбиты и внешней среды. Разности таких измерений практически лишены указанных погрешностей. Поэтому, используя разности фаз, удаётся с высокой точностью определять положение одного пункта относительно другого. Рассмотрим возникающие при таком подходе фазовые уравнения.

Первые разности фаз. Пусть в пунктах A и B выполнены фазовые измерения на один и тот же спутник s. Рассмотрим результаты измерений на обоих пунктах, относящиеся к одному и тому же положению спутника, то есть  к одному моменту спутникового времени. Благодаря наличию в излучаемом спутником сигнале меток времени это возможно.

Составим для обоих измерений уравнения вида (13), при этом в одном уравнении вместо индекса i, обозначающего номер пункта, будем иметь A, а в другом  B. Образуя разность этих уравнений, получим уравнение разности фаз

. (14)

Обозначая в полученном выражении для краткости каждую разность одним символом с двумя соответствующими нижними индексами, запишем

. (15)

Пусть координаты одного из пунктов, например A, известны. Тогда неизвестными в уравнении (15) будут входящие в три координатыx, y, z пункта B, постоянное для спутника s и пунктов A и B целое число и новая для каждой новой эпохи измерений разность смещений часов. Таким образом, число неизвестных равно 3+ n_s + n_t. При числе наблюдаемых спутников n_s и числе эпох n_t число уравнений разностей фаз будет равно n_sn_t. Чтобы число уравнений было не меньше числа неизвестных, должно выполняться неравенство n_sn_t  3 + n_s + n_t, из которого следует, что число эпох измерений при наблюдении четырёх спутников должно быть не меньше, чем 3. А при использовании двух спутников  не меньше, чем 5.

Вторые разности. Если в пунктах A и B выполнены измерения на два спутника (s и k), то, записывая первые разности фаз, получим два уравнения вида (15):

;

.

Вычитая из второго уравнения первое и вновь обозначая разности одним символом, но с двумя верхними индексами, и учитывая, что , запишем

. (16)

Получили уравнение, в котором уменьшено число неизвестных и, в частности, исключены систематические ошибки смещений часов приёмников A и B. В каждую эпоху наблюдений двух спутников с двух пунктов формируется такое уравнение. Неизвестными в уравнении (16) являются три координаты x, y, z пункта B и число N.

При числе наблюдаемых спутников n_s и числе эпох n_t можно составить (n_s  1)n_t независимых разностей фаз. Значит, число таких уравнений будет равно (n_s  1)n_t, а число неизвестных  3 +(n_s  1). Теперь, чтобы число уравнений оказалось не меньше числа определяемых неизвестных, при наблюдении четырёх спутников число эпох должно быть не меньше чем 2, а при наблюдении двух спутников – не менее чем 4. Решая такую систему уравнений, вычисляют координаты x_B, y_B, z_B пункта B и n_s  1 чисел N.

Третьи разности. Выполнив в две эпохи t₁ и t₂ измерения, аналогичные тем, которые позволили составить уравнение (16), получим два таких уравнения:

;

.

Образуя их разность, освобождаемся от неоднозначностей N и получаем уравнение

, (17)

где

и

.

Число неизвестных ещё уменьшено и теперь равно трем,  это координаты пункта B. А число уравнений равно (n_s  1)(n_t  1). Необходимое неравенство (n_s  1)(n_t  1)  3 приводит к условию n_t  (n_s + 2)(n_s  1), означающему, как и в предыдущем случае, необходимость выполнения при контакте с четырьмя спутниками не менее двух эпох измерений, а при контакте с двумя спутниками  не менее четырёх эпох.