2013 Модуль 4

Типовой расчет по математике

Функциимногихпеременных Дифференциальныеуравнения 4 модуль

Учебно-методическое пособие

Санкт-2013Петербург

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Брагина О.И., Панкратова Т.Ф., Рябова А.В.

Типовой расчет по математике

Функциимногихпеременных Дифференциальныеуравнения

4 модуль

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург

2013

Методические указания.

Типовой расч¼т состоит из пяти заданий по темам "Функции нескольких переменных" и "Дифференциальные уравнения". Методические указания не содержат полного изложения теории, а лишь напоминают некоторые факты и типовые при¼мы. Для каждого задания разобраны типовые примеры.

1. В первом задании предлагается проверить, является ли функция тр¼х переменных u(x; y; z) решением дифференциального уравнения в частных производных (e).

Теперь возьм¼м частную производную по x от полученной функции:

Умножим результат на z и сравним с правой частью уравнения (е):

Ответ. Функция u удовлетворяет уравнению (e).

2. Во втором задании предлагается найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных z(x; y) в замкнутой области D.

Задача 2,a.

z = x2 + 6x + y2 + 2y + 9, область D задана неравенствами 4 x 2

è 2 y 0.

3

Решение.

Ищем стационарные точки. Для этого находим частные производные @x@z è @y@z и приравниваем их к нулю.

@z

@x

= 2x + 6 = 0 ) x = 3;

@z

@y

= 2y + 2 = 0 ) y = 1:

Стационарная точка (-3;-1) лежит внутри области D. Это точка мини-

мума функции z, т.к. выполнены достаточные условия

a

@2z = 0: @x@y

В этой точке zmin = z( 3; 1) = 1: Теперь исследуем границу C обла-

функции z на этих отрезках, z( 3; 0) = z( 3; 2) = 0: На границах каждого из четыр¼х отрезков

z( 4; 0) = z( 2; 0) = z( 4; 2) = z( 2; 2) = 1:

Íà C2 è C4 z = (y + 1)2: Точка минимума y = 1: Минимальное зна- чение z( 4; 1) = z( 2; 1) = 0. Cравнивая найденные значения, находим, что наименьшее значение функции z в области D zmin(D) = 1; à

4

наибольшее zmax(D) = 1.

Задача 2,b.

Функция та же, а область D задана неравенствами

4 x 2 и 0 y 2. Теперь точка минимума функции z лежит

вне области D. Оста¼тся исследовать функцию z на границе, которая

значение z( 3; 0) = 0: На концах отрезка z( 4; 0) = z( 2; 0) = 1: На C3 z = (x + 3)2 + 8: Наименьшее значение z( 3; 2) = 8: На концах отрезка z( 4; 2) = z( 2; 2) = 9: В этом примере как наименьшее, так и наибольшее значения функции в области D достигаются на границе.

zmin(D) = 0; à zmax(D) = 9:

3. В третьем задании рассматриваются четыре обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка. Предлагается указать тип каждого уравнения и найти общее (в пунктах a,b,d) или частное (в пункте с) решение.

Задача 3,а. Найдите общее решение уравнения

(1 + e2x)y2y0 = ex:

Решение.

Запишем данное уравнение в симметричной форме

(1 + e2x)y2dy exdx = 0:

Это уравнение имеет вид

m1(x)n1(y)dx + m2(x)n2(y)dy = 0;

5

т.е. является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим пе-

Проинтегрируем последнее уравнение (с раздел¼нными переменными):

) y3 = arctg ex + c ) 3 3

p

) y = 3 3 arctg ex + c :

Получили общее решение исходного уравнения.

Задача 3,b.

Найдите общее решение уравнения

y xdxdy = x + ydxdy :

Решение.

Запишем уравнение в симметричной форме

èëè

(y x)dx (x + y)dy = 0:

Это однородное уравнение, т.к. коэффициенты при dx, dy есть однородные функции первой степени. Заменой y = z(x)x исходное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

(zx x)dx (x + zx)(zdx + xdz) = 0

Сокращая на x (x = 0 не является решением), получим

(z 1)dx (1 + z)(zdx + xdz) = 0;

(z 1 z z2)dx (1 + z)xdz = 0; ( z2 1)dx = (1 + z)xdz:

6

Разделим переменные:

arctg z = ln j p c j: x z2 + 1

Заменяя z на xy ; окончательно получим общий интеграл

Задача 3,с.

Найдите решение задачи Коши

y0 = tg x y + cos x; y(0) = 1:

Решение.

Исходное дифференциальное уравнение - это линейное неоднородное уравнение первого порядка

y0 = p(x)y + q(x):

Рассмотрим 2 способа решения данного уравнения.

1 способ. Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа). Cначала решим соответствующее линейное однородное уравнение

7

) ln jyj = ln j cos xj + ln c:

Получим общее решение линейного однородного уравнения

y = cosc x:

Теперь будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения

â âèäå

y = cosc(xx) :

Подставив начальное условие y(0) = 1 в это решение, получим, что

c1 = 1: Таким образом, решением задачи Коши будет

y(x) = (12x + 14 sin 2x + 1)cos1 x:

2 способ. Для решения линейного неоднородного уравнения можно также применить подстановку Бернулли y(x) = u(x)v(x). Тогда y0 = u0(x)v(x)+ u(x)v0(x) и исходное уравнение примет вид

u(x)[v0(x) p(x)v(x)] + u0(x)v(x) = q(x):

Выберем функцию v(x) такой, чтобы обратилась в ноль квадратная скоб-

ка, т.е. чтобы

dv

dx

+ p(x)v(x) = 0:

8

Очевидно, что получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. В качестве функции v(x) можно выбрать любое частное решение. Затем из уравнения

v(x)dudx = q(x)

найд¼м u(x) (опять имеем уравнение с разделяющимися переменными). В нашем примере сначала решаем уравнение

dxdv tg x v(x) = 0;

откуда

Задача 3,d.

Найдите общее решение уравнения

y0 = x4y + xpy:

Решение.

Данное дифференциальное уравнение - это уравнение Бернулли

y0 = p(x)y + q(x)y ; ( 6= 0; 6= 1):

9