«Применение уравнения лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы»

Уравнения Лагранжа второго рода – дифференциальные уравнения второго порядка в обобщенных координатах. Они дают единый и достаточно простой метод решения задач динамики для любых как угодно движущихся голономных и стационарных систем. Число уравнений не зависит от числа входящих в механическую систему точек или тел, а зависит от числа степеней свободы.

Силы, действующие на систему, представлены в виде обобщенных сил, куда входят только внешние силы, а все реакции идеальных связей автоматически исключаются и их можно не показывать на чертеже. Также, если на систему действуют силы трения, то их включают в число внешних сил.

Механическая система под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя, необходимо определить ускорения всех тел, входящих в систему.

В данном методе решения задачи воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:

, (1)

где : - обобщенные силы;

- кинетическая энергия механической системы;

- обобщенная координата;

- обобщенная скорость.

Покажем на механической системе веса тел ,,; обобщённую скоростьобобщённую координату. Схема механической системы указана на рисунке 10.

Рис.10

Запишем уравнения взаимосвязи между параметрами:

(2)

где: ,- угловые скорости тел;

- линейные скорости точек тел;

- скорость центра масс однородного катка 3;

, ,- радиусы тел 2 и 3.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы T в конечном ее положении равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3:

. (3)

Кинетическая энергия груза 1, который движется поступательно:

. (5)

Кинетическая энергия блока 2, с заданным радиусом инерции, совершающего вращательное движение:

; (6)

. (7)

Используя уравнение (2), получаем:

. (8)

Кинетическая энергия сплошного однородного цилиндра 3, совершающего плоское движение, складывается из кинетической энергии поступательного движения центра тяжести катка и кинетической энергии его вращательного движения:

. (9)

Определим кинетическую энергию поступательного движения цилиндра 3, используя уравнение связи:

. (10)

Определим энергию вращательного движения цилиндра 3, используя уравнение связи:

. (11)

Момент инерции для сплошного однородного цилиндра 3 равен:

; (12)

. (13)

Тогда кинетическая энергия механической системы будет равна:

(14)

Или кинетическая энергия механической системы в обобщенных координатах:

, (15)

Дифференцируя выражение (15) по обобщенной координате q₁, и времениt получим:

;

;

.

Обобщенная сила равна отношению алгебраической сумме элементарных работ всех внешних сил, действующих на системук обобщенной координате:

; (17)

; (18)

Работа груза 1 равна:

. (19)

Работа веса блока 2 будет равна нулю, так как блок 2 не совершает никаких перемещений:

.

Учитывая уравнения связи, получаем, что работа веса однородного цилиндра 3 равна:

(20)

Работа силы трения груза 1 равна: (21)

. (22)

Сумма элементарных работ механической системы равна:

. (23)

Подставив (23) в (17), получим значение обобщенной силы :

. (24)

Подставим (16) и (24) в (1) получим уравнения Лагранжа второго рода в виде:

.

Из уравнения выразим обобщенное ускорение груза 1:

;

Для нахождения ускорений остальных тел подставим значение в уравнения взаимосвязи между параметрами:

;

; .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется обобщенными координатами?

2. Что называется обобщенными силами?

3. Запишите уравнения Лагранжа II рода.

4. Какой физический смысл имеют уравнения Лагранжа II рода.

5. Что называется функцией Лагранжа.

6. Какой физический смысл имеет функция Лагранжа?

7. Запишите уравнения Лагранжа II рода для потенциальных систем.

8. Порядок составления уравнений Лагранжа II рода.

9. Достоинства уравнений Лагранжа II рода.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Практические занятия и самостоятельная работа включает в себя решение задач: [9]

№№ 48.2; 48.3; 48.4; 48.6; 48.7; 48.11; 48.21; 48.26; 48.27; 48.28; 48.35; 48.36; 48.37; 48.39; 48.48 .