4.3 Приведение масс и моментов инерции

Каждое i-е звено механизма обладает массой m_i, которую принято считать сосредоточенной в центре масс звена, и моментом инерции J_Si относительно оси, проходящей через центр масс. При замене механизма его динамической моделью массы и моменты инерции звеньев заменяются приведенной массой или приведенным моментом инерции зве­на приведения.

Приведение масс и моментов инерции производится из условия равенства суммы кинетических энергий К_i звеньев рассматриваемого механизма и кинетической энергии К_П приведенного механизма:

(4.7)

Кинетическая энергия i-го звена, совершающего плоскопараллельное движение, равна

(4.8)

Если звено приведения совершает поступательное движение со скоростью v, то определяется приведенная масса m_П. Кинетическая энергия звена приведения в этом случае равна

(4.9)

Подставляя выражения (4.8) и (4.9) в условие (4.1), определяем приведенную массу:

(4.10)

Полученная формула позволяет вы­числить приведенную массу звена при­ведения, совершающего поступатель­ное или вращательное движение. Переменная приведенная масса явля­ется условной величиной, которой пользу­ются для упрощения динамических расче­тов. Поэтому звено приведения нельзя рассматривать в качестве твердого тела с действительно изменяющейся массой.

Если звено приведения совершает вращательное движение с угловой скоростью ω (рис.35), то определяется приведенный момент инерции J_П. Кинетическая энергия звена приведения в этом случае равна

(4.11)

Подставляя выражения (4.8) и (4.11) в условие (4.1), определяем приведенный момент инерции:

(4.12)

В формулах (4.10) и (4.12) отноше­ния скоростей не зависят от действитель­ных скоростей механизма, но зависят от положения механизма и положения его звеньев, включая и звено приведения. Следовательно, приведенная масса и при­веденный момент инерции являются функ­циями только положения звена приведе­ния. Если звено приведения совершает поступательное движение, то m_П = f(s), a если вращательное, то J_П = f(φ). Для большого класса механизмов m_П и J_П являются постоянными величинами (зуб­чатые механизмы с круглыми колесами, турбины, компрессоры и др.). Когда пере­даточное отношение в механизме не меняется (зубчатые и другие механизмы), приведенный момент инерции остается постоянным, а его значение — всегда поло­жительно. Так как отношения скоростей отдельных точек механизма зависят только от его положения, то приведенный момент инерции не зависит от скорости движения механизма.

4.4 Уравнение движения механизма

Кинетические параметры механизма при заданных массах звеньев и силах можно определить из уравнения Лагранжа II рода, изучая движение звена при­ведения. С учетом сил сопротивления движению приведенный момент сил будет

где (М_П)_д – приведенный момент движу­щих сил;

(М_П)_с — приведенный момент сил сопротивления.

При этом уравнение движения

или

(4.13)

С учетом зависимости уравнение (4.13) дифференцируют как функцию двух независимых переменныхJ_П и ω:

,

где

Отсюда дифференциальное уравнение движения для вращающегося звена при­ведения механизма принимает вид

(4.14)

По аналогии дифференциальное урав­нение поступательно движущегося звена приведения будет

, (4.15)

где F_П – приведенная сила от движущих­ сил и сил сопротивления;

s и v – перемещение и скорость звена приведе­ния;

m_П – приведенная масса.

В том случае, когда J_П = const или m_П = const, что име­ет место в механизмах с постоянными пе­редаточными отношениями, уравнения (4.14) и (4.15) принимают вид:

(4.16)

, (4.17)