Задача 1

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ

СИСТЕМЫ

Задание . Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров.

Требуется:

1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;

2) найти допускаемую нагрузку , приравняв большее из напряжений в двух стержнях расчетному сопротивлению R = 210 МПа;

3) найти допускаемую нагрузку по предельному равновесию, если предел текучести = 240 МПа;

4) сравнить полученные величины допускаемых нагрузок.

Дано : A = 16 cм2; a = 2,7 м; b = 2,6 м; c = 1,8 м; k = 2.

Р е ш е н и е.

1 Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Для этого покажем схему деформирования заданной системы, обозначим буквами характерные точки абсолютно жесткого бруса и пронумеруем стержни.

Абсолютно жесткий брус под действием нагрузки Q повернется относительно шарнирной опоры O по часовой стрелке на угол α. Принимая угол очень малым, видим, что первый стержень станет короче на величину ∆l₁ = CD , а второй – длиннее на ∆ l₂ = OF . Из подобия треугольников ACD и OAF получим

2 Рассмотрим статическую сторону задачи. Покажем все силы, действующие на абсолютно жесткий брус. Направления усилий N1 и N2 определяем по схеме деформирования/

Здесь неизвестными являются усилия N1, N2, а также две составляющие реакции опоры S. Общее число неизвестных равно четырем. Для решения задачи можно составить только три независимых уравнения равновесия:

Следовательно, задача один раз статически неопределимая. В качестве дополнительного уравнения будем использовать уравнение совместности деформаций.

3 Рассмотрим физическую сторону задачи. В уравнении выразим деформации через усилия по закону Гука:

Подставив исходные данные E₁ = E₂, A₂ = 2A₁, l₂ =1,8 , l₁ = 2,7, , получим

4 Для определения N1 и N2 решим совместно уравнения:

5 Составим выражения для напряжений в стержнях:

6 Сравним полученные напряжения: >

Напряжение в первом стержне получилось больше, чем во втором.

7 Определим допускаемую нагрузку из условия прочности наиболее напряженного стержня, в данном случае второго:

=R

=210/10/0,0326=644 Н

8 Рассмотрим предельное равновесие системы, полагая, что

и

9 Сравним полученные значения

Вывод: допускаемая нагрузка, полученная по предельному равновесию, в 1,4 раза выше допускаемой нагрузки, найденной по расчетному сопротивлению.

Задача 4

Геометрические характеристики плоских сечений

Задание . Для поперечного сечения, требуется: 1) определить положение центра тяжести; 2) найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных центральных осей; 3) определить направления главных центральных осей; 4) найти моменты инерции относительно главных центральных осей; 5) вычертить сечение в масштабе 1 : 2 и указать на нем все оси и размеры в числах. Данные взять из табл. 4.1.

Р е ш е н и е.

Для заданных стандартных профилей приведем справочные данные. Все размеры на рисунках указаны в мм.

Уголок № 100×100×8;

F =15,6 см² ; I_x = I_y = 147,2 см⁴ ; I_x0 =233,3 см⁴; I_y0 = 60,2 см⁴;

см^4’

Двутвавр № 22а;

F =32,8 см² ; I_x = 206 см⁴ ; I_y = 2790 см⁴; I_yx = 0 см⁴

Найдем центр тяжести заданного сечения в координатах x₁ , y₁ :

Через точку С ( x1 =8,34; y1 = 4,11) проводим взаимно перпендикулярные координатные оси x, y . Относительно осей x, y находим координаты точек C1 ,С2 . Получаем: C1 (8,64; 5,59 ); С2 (-4,11; -2,66).

Проверяем положение центра тяжести:

S_x =15,6⋅(5,59)+32,8⋅(-2,66) = 0,024≈ 0 ; ∆= 0,2 %;

S_y =15,6⋅(8,64)+32,8⋅(-4,11) = 0,044 ≈ 0 ; ∆= 0,4 %.

Статические моменты относительно осей x, y получились близкими к нулю, следовательно, точка пересечения осей x, y является центром тяжести, а сами оси x, y – случайными центральными осями заданного сечения.

Вычисляем моменты инерции относительно осей x, y :

I_x =147,2+15,6⋅(5,59)² +2790+32,8(-2,66)² = 3592 см⁴ ;

I_y =147,2+15,6⋅(-8,64)² +206+32,8⋅(-4,11)² = 2072см⁴ ;

I_xy = −86,55+15,6⋅(8,64)⋅(5,59)+32,8⋅(-4,11)⋅(-2,66) = 1025 см⁴ .

Найдем положение главных центральных осей:

α=-26,7

sin α = - 0,450 ; cos α = 0,893 ; sin 2α = - 0,803; cos 2α = 0,596 ; sin ²α = 0,202 ; cos ²α = 0,798

Поворачивая оси x, y против часовой стрелки на угол α = 17,1 , получаем главные центральные оси u, v .

Найдем главные центральные моменты инерции:

I_u = 3592∙0,798+2072∙0,202 -(1025)(-0,803)= 4108 см⁴ .

I_v = 3592∙0,202+2072∙0,798+(1025)(-0,803)= 1556 см⁴ .

Проверка:

I_u+ I_v= I_x+ I_y

3592 + 2072=4108+1556;

5664=5664

I_uv=(3592-2072)/2∙(-0,803)+(1025)∙0,596=0

Задача 5

Статически определимые балки

Задание . Для двух балок требуется написать выражения для поперечных сил Q и изгибающих моментов M на каждом участке в общем виде, построить эпюры Q и M, найти Mmax и подобрать: а) для схемы а деревянную балку с круглым поперечным сечением при R = 10 МПа; б) для схемы б – стальные балки с круглым, квадратным и двутавровым поперечными сечениями при R = 210 МПа. Для схемы б сравнить площади полученных сечений.

Дано : а = 1,7 м; b = 1,6 м; c = 1,8 м; M = 1,8 кН ⋅ м; P = 1,1 кН; q = 1,6 кН/м;

Р е ш е н и е.

Покажем и вычислим реакции опор:

∑ M = 0; M_d

M_d + qb (a + b / 2) − M = 0;

M_d + 2,56 ⋅ 2, 5 – 1,8 = 0;

M_d = - 4,6 кΗ∙м.

∑F = 0;

R_d − q b = 0;

R_d = 1,6∙1,6=2,56 кΗ.

Вычисляем значения Q и M на участках.

Участок AB: z1 ∈ [0; 1,8];

Q(z1) = 0;

Q(z1) = 0 кН;

М(z1) = +M;

М(z1) = 1,8 кΗ∙м;

Участок BС: z2∈[0; 1,6];

Q(z2) = q z2;

Q(0) = 0 кН;

Q(1,6) = 2,56 кН;

М(z2) = M − q z2 z2 / 2;

М(z2) = 1,8 – 1,6 z2 z2 / 2;

М(0) = 1,8 кН ⋅ м;

М(1,6) = -0,25 кН ⋅ м;

Участок СD: z3∈[0; 1,7];

Q(z3) = q b;

Q(z3) = 2,56 кН;

М(z3) = М− q b( z3+b/2);

М(z3) = 1,8− 2,56 ( z3+1,6/2);

М(0) = - 0,25 кН⋅м;

М(1,7) = −4,6 кН⋅м.

По найденным значениям строим эпюры Q и M

Подбор сечения. Для балки постоянного сечения опасным является

сечение, в котором действует максимальный по абсолютному значению из-

гибающий момент. В нашем случае

Мmax = 4,6 кН ⋅ м.

Из условия прочности определяем требуемый момент сопротивления :

Wx = Mmax/ R = 4,6/ 10000= 460 см3

Для круга Wx = 3,14 R³/4, откуда

Принимаем сечение из дерева диаметром 9x2=18 см

Покажем и вычислим реакции опор:

∑ M = 0; M_d

R_a(a+b+c) + qa (a / 2) + M -Pc = 0;

5,1 R_a + 1,6⋅1,7⋅1,7/2 +1,8-1,1⋅1,8 = 0;

R_a = -0,418 кΗ∙м.

∑F = 0;

R_d − q a – P + R_a = 0;

R_d = 1,6∙1,7+1,1+0,418=4,238 кΗ.

Вычисляем значения Q и M на участках.

Участок AB: z1 ∈ [0; 1,7];

Q(z1) = R_a;

Q(z1) = -0,418 кН;

М(z1) = R_az₁;

М(z1) = -0,418z₁;

М(0) = 0 кΗ∙м;

М(z1) = -0,418∙1,7= - 0,71;

Участок BС: z2∈[0; 1,6];

Q(z2) = R_a;

Q(z2) = -0,418 кН;

М(z2) = M +R_a(z₂+a);

М(z2) = 1,8 -0,418 (z₂+1,7) ;

М(0) = 1,09 кН ⋅ м;

М(1,6) = 0,42 кН ⋅ м;

Участок СD: z3∈[0; 1,8];

Q(z3) = R_a− P;

Q(z3) = −0,418 - 1,1;

Q(z3) = −1,518;

М(z3) = R_a(z₃+a+b)+М− P z3;

М(z3) = -0,418(z₃+3,3)+1,8 − 1,1∙ z3;

М(0) = 0,42 кН⋅м;

М(1,8) = −2,31 кН⋅м.

Участок DE: z3∈[0; 1,7];

Q(z4) = + q z4;

Q(z4) = 1,6z4;

Q(0) = 0;

Q(1,7) = 2,72;

М(z4) = -q∙z₄z₄/2;

М(z4) = -1,6 ∙z₄z₄/2;

М(0) = 0 кН⋅м;

М(1,2) = - 2,31 кН⋅м.

По найденным значениям строим эпюры Q и M

Подбор сечения. Для балки постоянного сечения опасным является

сечение, в котором действует максимальный по абсолютному значению из-

гибающий момент. В нашем случае

Мmax = 2,31 кН ⋅ м.

Из условия прочности определяем требуемый момент сопротивления :

Wx = Mmax/ R = 2,31/ 210000= 11 см3

1)Для круга Wx = 3,14 R³/4, откуда

Принимаем круглое сечение из стали диаметром 3x2=6 см

Площадь поперечного сечения 1 варианта F = 3,14 d²/4=3,14∙6²/4=28,3 см²

2) Для квадрата Wx = b³/6, откуда

Принимаем квадратное сечение из стали со стороной 5 см

Площадь поперечного сечения 2 варианта F = 5x5=25 см²

3) Для двутавра Wx = 11 см³, откуда

Принимаем двутавр 10 с Wxтабл=39,7 см³

Площадь поперечного сечения 3 варианта F = 12 см²

Наиболее экономичным является двутавровое сечение.

Задача 6