Законы алгебры логики

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

Закон	ИЛИ	И
Переместительный (Коммутативный)	A v B = B v A.	A & B = B & A;
Сочетательный (Ассоциативный)	A v (BvC) = (AvB) v C = A v B v C	A&(B&C) = (A&B)&C = A&B&C;
Распределительный (Дистрибутивный)	A & (B v C) = A&B v A&C	A v (B & C) = (A v B) & (A v C)
Правила де Моргана	(A v B) == A & B	v B
Идемпотенции	A v A == A	A & A == A
Поглощения	A v (B & A) == A	A & (B v A) == A
Склеивания	(A & B) v (A & B) == A	(A v B) & (A v ) == A
Закон противоречия	A & 
Закон исключенного третьего	A v 
Операция с константами	A v 0 = A, A v 1=1	A & 0=0, A&1=1
Двойного отрицания	
Закон тождества	А=А

Если в переместительном и сочетательном законе поменять "&" на знак умножения и "v" на знак сложения, то они превращаются в арифметические формулы перестановки и сочетания.

Рассмотрим некоторые примеры.

По закону тождества А=А каждое высказывание должно быть тождественно самому себе. Зачастую этот закон нарушается преднамеренно. Наиболее распространенным является подмена понятий. Например, в высказывании «Материя бесконечна, но кому-то не хватает на платья», подмена философского понятия материя нетождественным ему понятием материя в смысле ткань (слова омонимы)

1. Закон противоречия A & : два несовместимых высказывания не могут быть одновременно истинными. Например, «Петя участник соревнования» и «Петя не является участником соревнования» ‑ не могут быть одновременно истинными высказываниями.

2. Закон исключенного третьего A v  действует по отношению к противоречивым высказываниям: «Либо погода летная, либо не летная».

Справедливость любого закона алгебры логики можно доказать разными методами:

• путем прямой подстановки вместо переменной значений 0 и 1(Пример 8 ),

• методом перебора всех возможных значений переменных, для которых проверяется справедливость закона, те с помощью таблиц истинности (Пример 9)

• с помощью законов алгебры логики (Пример 10 и 11)

Пример 8. Подставим в закон двойного отрицания значения аргумента:

При А=1 получим 

При А=0 получим 

Пример 9. Докажем с помощью таблицы истинности распределительный закон для логического сложения A v (B & C) = (A v B) & (A v C).

A	B	C	B&C	A v B	A v C	A v (B&C)	(A v B)&(A v C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	0	1	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Для доказательства закона достаточно показать тождественность выражений, образующих левую и правую стороны доказываемого соотношения при всех наборах переменных, принимающих значения 0 или 1.

Пример 10. Доказать, что  vv  A&C= A&(В v С)

По закону де Моргана  vА& В, по распределительному закону для сложения получим А& В v  A&C = = A&(В v С)

Пример 11*. Решение логических задач. Нарушитель правил движения.

Свидетели автотранспортного происшествия заявили следующее: Иванов сообщил, что нарушитель ехал на красных Жигулях, Петров сказал, что на синем Запорожце, а Сидоров утверждал, что на мотоцикле, но не красном. Известно, что каждый из них был в чем-то не прав. На чем проехал нарушитель?

Обозначим высказывания:

Ж ‑ это были жигули, К-машина красная, С – машина синяя, З – это был запорожец, М – это был мотоцикл.

Тогда каждый свидетель имел истинное составное высказывание: Ж&КvЖ&К, С&ЗvС&З, М&КvМ&К.

Одновременно не может быть два истинных цвета и марки: К&С=0,Ж&З=0, М&Ж=0, М&З=0.

Логическое произведение высказываний свидетелей должно быть истинным:

(Ж&КvЖ&К) &(С&ЗvС&З)&( М&К vМ&К)=

Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З&М&К v Ж&К&С&З &М&К=

0 v 0 v Ж&К&С&З&М&К v 0 v Ж&К&С&З&М&К v 0 v 0= Ж&К&С&З&М=1

Это синие Жигули!