Funkts_ryady

Для специальностей: 010200 –

Прикладная математика и информатика,

010500 –

Механика,

Объектами

наших

исследований

будут

функциональные

последовательности,

то

есть

последовательности

функций

{ fn (x)},

определенных на одном и том же

множестве D, и функциональные ряды,

∞

то есть ряды вида

∑un (x) , члены которых – функции un (x), определенные

n=1

на одном и том же множестве D.

Определение. Пусть функции fn (x)

(члены функционального ряда –

функции un (x)),

n=1,2,…, определены на множестве D

и пусть x0 D .

∞

Если числовая

последовательность { fn (x0)}

(числовой ряд

∑un (x0 ) )

n=1

сходится, то

говорят,

функциональная

последовательность { fn (x)}

∞

(функциональный ряд

∑un

(x) ) сходится в точке x0 . Если функциональная

lim fn (x) = f (x), x D;

f n (x) → f (x), x D; fn (x)→ f (x).

n→∞

D

∞

∑un (x) = f (x), x D .

n=1

x D ε > 0 N0 : n > N0

fn (x) − f (x)

<ε -

для

функциональной

последовательности

n

( x D ε > 0 N0 : n > N0

Sn (x) − f (x)

< ε,

Sn (x)

= ∑uk (x)

- для

функционального ряда).

k=1

последовательности

fn (x) = xn на множестве [0,1].

Решение. Если x [0,1) ,

то

lim xn = 0 а

если

x =1, то

lim xn =1.

n→∞

n→∞

Следовательно, предельная функция имеет вид

f (x) =

0,если 0

≤ x <1,

x =1.

1,если

Пример 2. Найти предельную функцию f(x) функциональной

последовательности

fn (x) = nsin

1

на множестве

(0,+∞) .

nx

Решение. Используя первый замечательный предел, который имеет

вид lim sin y =1, получим

y→0

y

1

1

= lim nx sin

1

= 1 lim

sin

=

1 .

lim nsin

nx

nx

nx

1

n→∞

n→∞

x

x n→∞

x

Решение.

Исследуем

ряд

на

абсолютную

сходимость.

Для

этого

∞

+− xx

n

рассмотрим

ряд

∑n=1

1

11

,

общий

член

которого

имеет

вид

2n −1

un (x) =

1

1− x

n

≥ 0.

При фиксированном значении х

применим признак

2n −1

1+ x

Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда

lim un+1(x)

= lim

1

1− x

n+1 :

1

1− x

n =

n→∞

un (x)

n→∞ 2(n +1) −1

1+ x

2n −1

1+ x

= lim

2n −1

1− x

=

1− x

.

n→∞

2n +1

1+ x

1+ x

1− x

Таким

образом,

для сходимости этого ряда необходимо, чтобы

< 1.

Решая

это неравенство,

получаем

x > 0 .

Следовательно, ряд

1+ x

сходится абсолютно при x > 0 .

Если

1− x

= 1,

то

x = 0

и un (0) =

(−1)n

. Получаем знакочередующийся

1+ x

2n −1

∞

n

ряд ∑n=1

(−1)

. Исследуем его на сходимоть, применяя признак Лейбница:

2n −1

1.

1

>

1

=

1

для всех натуральных n, т.е. модули членов

2n −1

2(n +1) −1

2n +1

исследуемого ряда образуют убывающую последовательность;

2.

lim

1

= 0 .

2n −1

n→∞

Все условия признака Лейбница выполнены, следовательно ряд

∞

(−1)n

∑n=1 2n −1

∞

(−1)n 1

− x n

Поэтому исходный ряд

∑n=1

сходится абсолютно при x > 0 и

2n −1 1

+ x

условно при x = 0 .

Пример 4. Определить область сходимости (абсолютной и условной)

функционального ряда

∞

(−1)n

∑n=1 (x +n)p

Решение. Функции u

(x) =

(−1)n

определены при x ≠ −1, −2, −3,... Для

(x +n)p

n

1. Функция

f (y) =

1

неотрицательна. Неравенство

| x + y |p

1

≥

1

,

y

< y

| x + y |p

| x + y

|p

2

1

2

1

справедливо только когда p>0, поэтому функция

f (y) =

1

убывает (по

| x + y |p

переменной у) на промежутке [1, +∞) при p>0.

2. Интеграл

∞

dy

(x + y)1−p

∞

∫

=

(x + y)p

1− p

1

1

сходится абсолютно, если p > 1.

Таким образом, ряд

∞

(−1)n

сходится абсолютно при

p > 1 и x ≠ k ,

∑n=1 (x +n)p

k = −1,−2,...

Исследуем ряд

∞

(−1)n

на условную сходимость, применяя признак

∑n=1 (x +n)p

Лейбница.

1

1

1.

<

при

p > 0 .

(x +n +1)p

(x +n)p

2. lim

1

= 0 при p > 0

и x ≠ k , k = −1,−2,....

(x +n)

p

n→∞

∞

(−1)

n

Следовательно, ряд

∑

сходится абсолютно

при

1 < p ,

x ≠ k ,

(x +n)

p

n=1

k = −1,−2,... и условно при 0 < p ≤1, x ≠ k ,

k = −1,−2,−3... .

Определение.

Говорят,

что

функциональная последовательность

∞

{ fn (x)} (функциональный

ряд

∑un (x) )

равномерно

сходится

на

n=1

множестве D к функции f(x), если выполнено следующее условие:

ε > 0 N0 : n > N0 x D

fn (x) − f (x)

< ε

для

функциональной

последовательности

n

( ε > 0 N0 : n > N0 x D

Sn (x) − f (x)

< ε,

Sn (x) = ∑uk (x)

-

для

функционального ряда).

k=1

Если функциональная последовательность (функциональный ряд)

сходится равномерно на множестве D, то используют следующие записи:

fn (x)

→

fn (x)

→

→ f (x), x D;

→ f (x);

D

∞

→

∞

→

(x), x D;

∑un (x)

∑un (x) → f

→ f

(x) .

n=1

n=1

D

∞

Пусть rn (x) = ∑uk (x) =

f (x) −Sn (x)

- остаток функционального

k =n+1

r (x)

→0, x D. Это

соображение будет использовано нами в

n

→

дальнейшем.

∞

Пример 5. Доказать,

что функциональный ряд ∑ xn−1

равномерно

n=1

−

1

,

1

сходится на множестве

2

2

.

Здесь мы учли, что lim x

n

=

0

так как

x

1

,

1

. Подставив полученные

−

2

2

n→∞

результаты в определение равномерно сходящегося ряда, получим

1

1

1− xn

1

|

x |n

1

< ε ,

ε > 0 N0

: n > N0

x −

,

Sn (x) − f (x)

=

−

=

≤

2

2

1− x

1− x

|1

− x |

2

n−1

поскольку

| x |≤ 1 ,

|1− x |≥

1 .

Следовательно,

ряд

∞

сходится

к своей

∑ xn−1

2

2

n=1

сумме

1

равномерно на отрезке

1

,

1

:

−

1− x

2

2

∞

→

1

∑xn →

.

n=1

1

,

1

1− x

−

2

2

x

∞

Пример 6. Доказать, что функциональный ряд

∑n=1

(1+(n −1)x)(1+nx)

равномерно сходится на множестве (δ, +∞),

δ > 0..

Решение. Заметив, что

Sn (x) = ∑

1

− 1

=1− 1 +

1

−...+

1

−

1

=1− 1 ,

n

k =1

1+(k −1)x

1+kx

1+ x

1+ x

1+(n −1)x

1+nx

1+nx

1

f (x) = lim 1

−

=1.

1

n→∞

+nx

Теорема

(критерий

Коши

равномерной

сходимости