Funkts_ryady
.pdf
|
ϕn (x) |
|
< |
ε |
, |
|
γn (x) |
|
< |
ε . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
Кроме того, из известного свойства пределов конечных сумм следует, что
lim |
fn (x) = lim |
∑n uk (x)=∑n ck =Cn . |
|
x→x |
x→x |
|
k=1 |
0 |
0 k=1 |
Поэтому найдется такое число δ > 0, что для всех точек х, одновременно принадлежащих множеству D и δ - окрестности точки х0, будет выполняться неравенство
|
fn (x) −Cn |
|
< |
ε . |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
Тогда, при указанных значениях х, будет выполняться неравенство |
f (x) −C |
|
= |
|
fn (x) +ϕn (x) −Cn −γn |
|
≤ |
|
fn (x) −Cn |
|
+ |
|
ϕn (x) |
|
+ |
|
γn |
|
< |
ε |
+ |
ε |
+ |
ε |
=ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
Теорема доказана.
Теорема (о почленном переходе к пределу для функциональной последовательности). Пусть выполнены следующие условия.
1) fn (x) → f (x), x D; |
|
|
|
|
|
|
||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
2) n = |
1,2,3, lim |
fn (x) = Cn R. |
|
|
|
|
||
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда существуют оба конечных |
предела |
lim f (x), lim Cn , |
которые |
|||||
|
|
|
|
x→x |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
равны между собой, то есть справедливо равенство |
|
|
|
|||||
|
|
lim lim |
fn (x) = lim lim |
fn (x). |
|
|
|
|
|
|
x→x n→∞ |
|
n→∞ x→x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Следствие. |
Пусть |
каждая |
из |
функций |
||||
un (x), |
n =1,2,3, , определена |
на множестве |
D и |
непрерывна |
в |
точке |
||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x0 D , |
а функциональный |
ряд |
∑un (x) (последовательность |
{fn(x)} |
n=1
21
сходится равномерно на множестве D. Тогда его сумма (предельная функция последовательности) является непрерывной в точке х0 функцией.
Почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей
Теорема. Пусть функции un (x), |
n =1,2,3, , интегрируемы по Риману на |
|
∞ |
отрезке [a;b] и составленный |
из них функциональный ряд ∑un (x) |
|
n=1 |
(функциональная последовательность {fn(x)}) сходится равномерно на отрезке [a;b]. Тогда сумма f(x) этого ряда (предельная функция последовательности) также будет интегрируемой по Риману на отрезке [a;b] и при этом справедливо равенство
b |
b |
∞ |
∫ f (x)dx = ∫ |
∑un (x)dx |
|
a |
a |
n=1 |
b |
b |
|
|
∫ f (x)dx = ∫ |
lim |
fn (x)dx |
|
a |
a n→∞ |
∞b
=∑ ∫un (x)dx
n=1 a
|
b |
|
|
= |
lim ∫ |
fn (x)dx |
|
. |
|||
|
n→∞a |
|
|
Доказательство. Докажем сначала интегрируемость функции |
f(x). |
|||||||||||||
Зафиксируем |
произвольно |
малое число |
ε > 0 . |
Поскольку функции |
un(x) |
|||||||||
интегрируемы |
на отрезке |
[a;b] |
вместе |
со |
всеми |
частичными суммами |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn (x) = ∑uk (x) , найдется такое разбиение τ ={xi}ip=1 , |
при котором будут |
|||||||||||||
k =q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливы неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
ε , |
|
|
Sτ ( fn ) − sτ ( fn ) = ∑(Mi(n) −mi(n) )∆xi |
< |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (n) = sup |
f |
n |
(x), m(n) = |
inf |
f |
n |
(x) , |
|
|||||
|
i |
|
,x |
] |
i |
|
[x |
,x |
] |
|
|
|
||
|
[x |
|
|
|
|
i−1 |
i |
|
|
|
|
|
||
|
i−1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
|
p |
|
|
|
p |
|
Sτ ( fn ) = ∑Mi(n)∆xi , |
sτ ( fn ) = ∑mi(n)∆xi . |
|||||
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
Пусть далее |
|
|
|
|
|
|
Mi = |
sup |
f (x), |
mi = |
inf |
f (x), |
|
|
[x |
,x |
] |
|
[xi−1,xi |
] |
|
i−1 |
i |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
Sτ ( f |
) = ∑Mi ∆xi , |
sτ ( f |
) = ∑mi ∆xi |
|||
|
i=1 |
|
|
i=1 |
В силу равномерной сходимости ряда найдется такой номер N0, что для всех номеров n>N0 во всех точках отрезка [a;b] будут выполняться неравенства fn (x) − f (x) < 4(bε−a) ,
или, что то же самое,
fn (x) − 4(bε−a) < f (x) < fn (x) + 4(bε−a) .
Переходя в этих неравенствах к точным граням на каждом отрезке разбиения, получим
m(n) − |
ε |
< f (x) < M (n) |
+ |
ε |
|
, x [a;b], |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i |
4(b −a) |
|
|
i |
|
|
4(b −a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m(n) − |
ε |
≤ M |
i |
≤ M (n) + |
ε |
, |
m(n) − |
ε |
≤ m |
≤ M (n) + |
ε |
. |
||
i |
4(b −a) |
|
i |
|
4(b −a) |
|
i |
4(b −a) |
i |
i |
4(b −a) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последние два неравенства равносильны системе неравенств
m(n) − |
|
ε |
≤ M |
i |
≤ M (n) + |
ε |
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i |
4(b −a) |
|
|
|
i |
|
4(b −a) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
≤ −m(n) + |
ε |
|
|
||||
−M (n) − |
|
≤ −m |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
i |
|
4(b −a) |
|
|
i |
|
i |
|
|
4(b −a) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Складывая эти неравенства, получим |
|
|
||||||||||||||
M |
i |
−m |
≤ M (n) |
−m(n) + |
ε |
|
|
, i =1,2, , p. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
i |
|
i |
|
i |
|
|
2(b −a) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Умножая каждое из этих неравенств на ∆xi |
и суммируя по i, получим |
||||||||
p |
|
p |
|
|
|
|
ε |
|
|
Sτ ( f ) − sτ ( f ) = ∑(Mi −mi )∆xi ≤ ∑((Mi(n) −mi(n) ) + |
|
)∆xi = |
|||||||
2(b −a) |
|||||||||
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
||||
= S ( f |
n |
) − s ( f |
n |
) + ε <ε. |
|
|
|
||
τ |
τ |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, для произвольно малого |
ε > 0 можно |
подобрать такое |
разбиение, что разность между верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для этого разбиения окажется меньше ε. Отсюда следует интегрируемость функции f(x) на отрезке [a;b].
Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f (x) = fn (x) +rn (x) . Проинтегрируем это равенство по отрезку [a;b]. Получим:
b |
n b |
b |
∫ f (x)dx = ∑∫uk (x)dx + ∫rn (x)dx. |
||
a |
k=1a |
a |
Теперь достаточно показать, что
b
lim ∫rn (x)dx = 0.
n→0 a
Зафиксируем ε > 0 . В силу равномерной сходимости ряда его остатки равномерно сходятся к нулю. Поэтому найдется такой номер N0, что при n>N0 будет выполняться неравенство
rn (x) < b ε−a
для всех x [a;b] . Тогда для таких значений n мы будем иметь:
b |
|
b |
ε |
b |
|
||||
∫rn (x)dx |
|
≤ ∫| rn (x) |dx < |
|
∫ dx =ε. |
|
b −a |
|||
a |
|
a |
a |
|
|
|
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
24
Почленное дифференцирование функциональных последовательностей
|
|
и рядов. |
|
|
|
|
|
Теорема. Пусть функции un (x) |
( fn (x) ), |
n =1,2,3, , |
определены |
||||
на отрезке [a;b] |
и имеют |
на этом |
отрезке |
конечные |
производные |
||
un′ (x) ( fn′(x)) . |
Пусть, |
кроме |
того, |
функциональный |
ряд |
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑un (x) (функциональная последовательность { fn (x)} |
сходится хотя бы в |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
одной точке x0 [a;b], а функциональный ряд ∑un′ |
(x) , составленный из |
n=1
производных (функциональная последовательность { fn′(x)}, составленная из производных) равномерно сходится на отрезке [a;b]. Тогда справедливы следующие утверждения:
∞ |
|
1) функциональный ряд ∑un (x) |
(функциональная последовательность |
n=1 |
|
{ fn (x)} равномерно сходится на отрезке [a;b];
2) его сумма (предельная функция последовательности) f(x) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [a;b], выражаемую равенством
|
|
|
|
|
|
d ∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
f ′(x) = |
|
|
|
∑un (x) = |
∑un′ (x) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|||
|
f ′(x) = |
d |
|
|
|
|
|
|
df |
n |
(x) |
|||
|
|
|
|
lim |
fn (x) |
= |
lim |
|
|
. |
||||
dx |
|
|
||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
dx |
|
Доказательство. Зафиксировав номера n и m, рассмотрим функцию
n+m
Unm (x) = ∑uk (x).
k =n+1
25
Зафиксируем теперь произвольно малое число ε > 0 . В силу равномерной сходимости ряда, составленного из производных, найдется такой номер N0, что для всех номеров n>N0, для всех натуральных чисел m и для всех значений x [a;b] будет выполняться неравенство
|
|
|
′ |
|
|
= |
|
n+m ′ |
|
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Umn (x) |
|
∑uk (x) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
Для таких номеров n и m, рассмотрим функцию |
|
|
|
|||||||||||
U |
mn |
(x) −U |
mn |
(x ) |
|
n+m |
u |
k |
(x) −u |
k |
(x ) |
. |
||
|
|
|
0 |
= ∑ |
|
|
0 |
|||||||
|
|
x − x0 |
|
|
|
k =n+1 |
|
|
x − x0 |
|
|
По теореме Лагранжа о конечных приращениях между точками x и x0 найдется точка ξ , такая, что будет выполняться равенство
Umn (x) −Umn (x0) |
′ |
x − x0 |
=Umn (ξ). |
|
Но тогда по доказанному выше мы будем иметь:
Umn (x) −Umn (x0) = Umn′ (ξ) <ε.
x− x0
Отсюда, согласно критерию Коши, следует равномерная на отрезке [a;b]
∞ u |
n |
(x) −u |
n |
(x |
0 |
) |
. |
сходимость функционального ряда ∑ |
|
|
|
||||
n=1 |
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
Отсюда уже и следуют оба утверждения теоремы. |
|
|
|
||||
Прежде всего пусть x0 – та самая точка, |
в которой сходится ряд |
∞
∑un (x) . В силу доказанной равномерной сходимости функционального
n=1
∞ u |
|
(x) −u |
(x |
) |
, |
а |
вместе с ним и функционального ряда |
|
ряда ∑ |
n |
x − xn |
0 |
|
||||
n=1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∑[un (x) −un (x0 )] |
получаем, |
что функциональный ряд ∑un (x) |
сходится |
n=1 |
n=1 |
|
26
равномерно на отрезке [a;b]. Пусть f(x) – его сумма. Но тогда по теореме о почленном переходе к пределу для равномерно сходящегося функционального ряда получаем:
|
|
|
|
f (x) − f (x0) |
|
∞ |
u |
n |
(x) −u |
n |
(x |
) |
|
∞ |
|
|
|
|
f |
′ |
) = |
lim |
|
= |
lim |
|
|
0 |
|
= |
∑ |
u |
′ |
(x |
). |
||
|
|
|
|
|||||||||||||||
(x |
x − x |
|
|
x − x |
|
|
|
n |
||||||||||
|
|
0 |
n→∞ |
|
∑ n→∞ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
0 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
Теорема доказана.
27