Funkts_ryady

В случае функциональных рядов достаточно заметить, что для частичных

n

сумм Sn (x) = ∑uk (x) справедливо следующее тождество на множестве D:

k=1

n+p

Sn+p (x) − Sn (x) = ∑uk (x).

k=n+1

Далее можно применить доказанное утверждение для функциональных последовательностей.

Теорема доказана.

Приведем примеры использования критерия Коши для исследования равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности в терминах супремума модуля разности между членами последовательности и предельной функцией. Критерий равномерной сходимости функционального ряда в терминах супремума модуля остатка.

Докажем критерии равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов, непосредственно вытекающие из определения равномерной сходимости.

Теорема. Для того, чтобы последовательность функций { fn (x)} , определенных на множестве D, равномерно на множестве D сходилась к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:

lim sup fn (x) − f (x) = 0.

n→∞ x D

11

числовой последовательности означает, что выполняется условие

ε > 0 N0 n ≥ N0 0 ≤σn <ε.

имеем:

Переходя к точной верхней грани в последнем неравенстве, получаем:

ε > 0 N0 : n > N0 x D σn ≤ ε2 < ε ,

что и требовалось. Обратно, если выполняется условие теоремы, то мы получим

ε > 0 n > N0 x D fn (x) − f (x) ≤σn < ε,

то есть fn (x) →→ f (x), x D .

Теорема доказана.

∞

Следствие. Для того, чтобы функциональный ряд ∑un (x)

n=1

равномерно сходился на множестве D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

lim sup rn (x) = 0,

n→∞ x D

∞

где rn (x) = ∑uk (x) - остаток ряда порядка n.

k =n+1

12

Доказательство. Поскольку для равномерной сходимости функционального ряда необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

условие rn (x) →→0, x D , осталось применить доказанную теорему.

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда в терминах общего члена. Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

Теперь докажем некоторые условия сходимости функциональных последовательностей и рядов, которые вытекают из критерия Коши и доказанной выше теоремы.

Теорема (необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда в терминах общего члена). Если функциональный

∞

ряд ∑un (x) равномерно сходится на множестве D, то выполняется

n=1

условие un (x) →→0, x D , то есть равномерная на множестве D

сходимость функциональной последовательности общих членов ряда un (x)к тождественно нулевой функции является необходимым условием равномерной на множестве D сходимости функционального ряда.

13

Полагая р =1, мы получим

ε > 0 N0 n > N0 x D un+1 < ε,

что и означает справедливость утверждения.

Теорема доказана.

Теорема (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных последовательностей). Пусть существует

милиционерах получим nlim→∞σn = 0.

Последнее равенство равносильно утверждению теоремы.

14

удовлетворяют условию un (x) ≤ an , x D. Тогда этот функциональный ряд равномерно сходится на множестве D.

Доказательство. В силу критерия Коши сходимости числового ряда мы имеем:

Отсюда по условию теоремы получаем

∞

то есть выполняется условие Коши для функционального ряда ∑un (x) , а

n=1

значит, он равномерно сходится на множестве D.

Теорема доказана.

Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функционального ряда.

Ради целостности изложения напомним изученные при рассмотрении числовых рядов преобразование Абеля и неравенство Абеля. Пусть дана

n

сумма вида Sn = ∑akbk .

k =1

Воспроизведем далее выкладки без комментариев:

Sn = a1b1 +a2b2 +...+anbn ,

15

Sn = a1B1 +a2 (B2 − B1) +...+an (Bn − Bn−1);

Sn = (a1 −a2 )B1 +(a2 −a3)B2 +...+(an−1 −an )Bn−1 +anBn;

Такое преобразование частичных сумм называется преобразованием Абеля. С его помощью докажем неравенство Абеля.

= B (a1 −an + an )≤ B (a1 +2 an ).

Замечание. Доказательство проходит и в случае ai ≤ ai+1, i =1,2,..., n −1. Это значит, что можно потребовать просто монотонности {ai}. Важно, что оценка дается модулем первого и последнего члена и не зависит от числа слагаемых.

k=1

ограничена на множестве D, то есть

16

∞

Теорема (признак Абеля). Функциональный ряд ∑an (x)bn (x)

n=1

сходится равномерно на множестве D, если выполняются условия:

∞

а) ряд ∑bn (x) сходится равномерно на множестве D;

n=1

б) последовательность {an (x)} монотонна на множестве D, то есть

Теперь тоже выполнены условия леммы о неравенстве Абеля, только роль

В силу критерия Коши ряд равномерно сходится на D.

Теорема доказана.

18

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ.

Почленный переход к пределу функциональной последовательности и функционального ряда.

Далее мы будем доказывать теоремы о равномерно сходящихся рядах, а их аналоги для последовательностей лишь формулировать. Дело не только в том, что они доказываются аналогично. Поясним это.

Пусть { fn (x)} - функциональная последовательность. Введем обозначения: un (x) = fn (x) − fn−1(x), n = 2,3, , u1(x) = f1(x) . Тогда

n

fn (x) = ∑uk (x) =

k=1

= f1(x) +( f2 (x) − f1(x)) +( f3(x) − f2 (x)) + +( fn (x) − fn−1(x)) -

∞

частичная сумма функционального ряда ∑un (x) , причем сходимость этого

n=1

ряда к некоторой функции f(x) равносильна сходимости последовательности { fn (x)} к то же функции. Поэтому, доказав некоторое утверждение для ряда, мы автоматически докажем его и для последовательности.

Теорема (о почленном переходе к пределу для функционального

равномерно на множестве D. Тогда справедливы следующие утверждения:

19

∞

А) сходится числовой ряд, составленный из этих пределов: ∑cn = C;

Доказательство. Зафиксируем произвольное число ε > 0 . В силу критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда найдется такой номер N0 , что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n>N0 , и для всех натуральных чисел р будет выполняться неравенство

Переходя в этом неравенстве к пределу при x → x0 , мы получим

то есть выполнено условие Коши для числового ряда. Отсюда вытекает первое утверждение теоремы. Пусть далее

равномерной сходимости данного функционального ряда и сходимости числового ряда из его пределов можно подобрать такой номер N0 , что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n>N0 и для всех x D будут выполняться неравенства

20