ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf

РАЗДЕЛ 7

Здесь Pv ξ1 – полином v -й степени с неопределенными пока коэффициентами.

Подставляя формально выражение (7.23) в основное уравнение (7.22) и раскладывая все функции в ряд в окрестности бесконечно удаленной точки, получаем, что v =1. Тогда

где C3 , C4 – неизвестные константы, действительные из условия симметрии.

Для определения неизвестных постоянных рассмотрим в расширенной плоскости ξ функциональное уравнение (7.17). Обозначим правую его часть

160

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК

Умножим каждое слагаемое выражения (7.25) на ядро Коши и проинтегрируем их по контуру L1 . Получим

Функция ϕ(ξ) в нашем случае удовлетворяет условиям теоремы Коши для бес-

конечной области [258], в соответствии с чем второе слагаемое в (7.26) равно:

чением, быть может, конечных точек а1, а2, а3….а4 этой области, а также точки Z = ∞, где она может иметь полюс с главными частями G1 (Z ), G2 (Z ),...Gn (Z ),

G∞ (Z ), то она может быть представлена следующим образом

161

РАЗДЕЛ 7

Раскроем правую часть уравнения (7.26):

Третье слагаемое в выражении (7.31) равно нулю по той же причине, что и (7.27). Таким образом, получаем

получим

162

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК

Таким образом, поставленная задача решена с точностью до постоянных интегрирования.

дует, что при ξ → ∞ ψ(ξ)= 0,5γH (1 − λ).

Приравнивая эти два выражения, находим:

Таким образом, постоянные интегрирования определены. Граница L между упругой областью и областью разрушения представляет собой эллипс, уравнение которого имеет вид

где

β = γH (1 − λ). 2Bk

163

РАЗДЕЛ 7

напряжения в нетронутом породном массиве распределены гидростатически, т.е. λ=1. В этом случае решение поставленной задачи существенно упрощается, поскольку контур эллипса L вырождается в круг. Расчетная схема, используемая для решения задачи, приведена на рис. 7.2.

Для рассматриваемой одномерной задачи запишем в полярной системе координат исходные соотношения:

– уравнение равновесия

– соотношения Гука

164

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК

где σr , σθ и εr , εθ – соответственно радиальный и тангенциальный компо-

ненты напряжений и деформаций, U – радиальное перемещение, G – модуль сдвига, μ – коэффициент Пуассона, r – полярная координата.

Здесь и далее все величины, имеющие размерность длины и перемещений, по-прежнему отнесены к радиусу выработки Rо. Граничные условия и условия

Будем обозначать все компоненты напряжений и перемещений в упругой области без индекса, а в пластической – с индексом 1.

Решив уравнение Эйлера, полученное из (7.41), удовлетворяя граничным условиям (7.45), получим формулы для определения компонентов напряжений в упругой области

где С – неизвестная постоянная интегрирования, определяемая из условий сопряжений радиальных напряжений на контуре L (7.47).

В области неупругих деформаций справедливо физическое уравнение:

165

РАЗДЕЛ 7

где k – некоторая константа, зависящая от исходных физических предпосылок, заложенных в условие прочности, определяемая в нашем случае выражением (3.10); А и В – константы, которые можно установить на основе выражений

(2.15).

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия (7.40), получим с учетом граничных условий (7.46) выражения для компонентов напряжений в пластической области

При r = rL , учитывая равенство радиальных напряжений, определяемых формулами (7.48) и (7.50), получим значение неизвестной постоянной интегри-

рования C = krL2 .

Таким образом, компоненты напряжений в упругой и пластической областях определены. Тогда, используя (7.47), (7.50), получим трансцендентное выражение для определения радиуса области неупругих деформаций:

Из (7.52) следует, во-первых, что отпор крепи Ро чрезвычайно мало влияет на размеры области неупругих деформаций, поскольку величина его на глубоких горизонтах шахт несоизмеримо меньше гравитационного давления γH . В

этой связи в формуле (7.52) без ущерба для точности можно положить Ро=0. Во-вторых, для подавляющего большинства углевмещающих горных пород величина ψ , входящая в выражение (3.10), приблизительно равна 0,1, и если по-

ложить ее в таком случае равной нулю, то ошибка от подобной идеализации не превысит 5 %.

166

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК

Варьируя постоянную, получим с учетом равенства радиальных перемещений на контуре L выражение для определения перемещений в пластической области:

С учетом (7.53) и (2.15) при kост = 0 получим выражение для определения смещений на контуре выработки:

167

РАЗДЕЛ 7

Основные зависимости для определения параметров упругопластического состояния породного массива в окрестности одиночной выработки (7.53) и (7.57), полученные выше, позволяют определить некоторые (точечные) значения вероятностных по своей природе величин: радиуса области неупругих деформаций rL и радиальных смещений на контуре выработки U0.

Определим радиус области неупругих деформаций и величину перемещений контура выработки для средних условий Западного Донбасса при следующих исходных данных:

–глубина расположения выработки Н= 350 м;

–предел прочности на одноосное сжатие c = 25 МПа;

–объемная плотность, = 2,50 10-3 МН/м3;

–радиус выработки R0 = 2,0 м;

–коэффициент структурно-механического ослабления kc = 0,33;

–предельное значение объемной деформации в условиях одноосного сжа-

тия v*= −0,1.

Согласно выражениям (7.53) и (7.57), для этих условий получим, что rL 2,3, а U0 0,38 м.

7.2. Алгоритм численного решения упругопластической задачи

Из испытаний на одноосное сжатие в условиях заданных деформаций из-

вестно, что существует некоторое предельное напряжение сжатия Rc ,

вплоть до достижения которого материал деформируется практически по линейному закону. Диаграмма деформирования « » становится все более пологой в окрестности точки Rc, c , где Rc – предел прочности на одноосное сжатие, c – деформация, соответствующая Rc . В самой точке Rc, c d d 0, после чего деформирование характеризуется ниспадающей ветвью,

которая имеет отрицательную кривизну d2 d 2 0 и стремится к некоторым остаточным напряжениям и деформациям разрушения R*, * . Обобщенный

168

ЧИСЛЕННЫЕРЕШЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК

вид диаграммы деформирования в соответствии с исследованиями, изложенными в разделе 2, показан на рис. 7.3.

В работе [259] показано, что наличие ниспадающей ветви диаграммы деформирования (т.е. участка разупрочнения) приводит к тому, что в области разрыхления так называемое условие сверхустойчивости по Адамару, приведенное в работе [260], не выполняется, что с теоретической точки зрения приводит к неединственности решения

краевой задачи. При использовании численных методов это означает, что система уравнений относительно перемещений становится вырожденной, в результате чего вычислительный процесс не может быть продолжен. Таким образом, ни одна из «традиционных» моделей деформирования сплошных сред, в том числе и нелинейная теория упругости, в данном случае неприменимы. В работе [261] была предложена модель пошагового «упругого» решения рассматриваемой задачи. Данная модель является аналогом известного в механике деформируемого твердого тела метода упругих решений, который часто применяется для решения краевых упругопластических задач с упрочнением. Схематически этот метод изложен, например, в [262].

Необходимо отметить, что численная модель, предложенная в 261 , не лишена некоторых упрощений и идеализации. Например, в ней учитывалась только «верхняя» часть полной диаграммы деформирования горных пород, отражающая продольные деформации образца, нагружаемого в режиме заданных деформаций, и не учитываются полные, объемные, деформации. Это приводит

169