Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

belousova_method_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

195.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

																									11
																				ì				1 + l1 = 0								3		2u
																				ï							1 += 0l.					4			2u
																				í				2			1 += 0l.					4			2u
																				ï				1 +			2 =1					u4			3u
																				î				1 +			2 =1					u4			3u
																											3												9				16			=1.l			- l			-	l - =
О	т с юда легко по с чи т ат ь, чт о																							u												,					2			,u
О	т с юда легко по с чи т ат ь, чт о																							u			2									,			2		2			,u
																											2												2				2		1			1			1	1	2	1
П	о эт о му															2		,u			3		,u		=		4		и		о пт= и мальнаяl- = т о чка и меет ви д
П	о эт о му															25		,u		25			,u		=	25			и		о пт= и мальнаяl- = т о чка и меет ви д
					3					4						25				25				1 2		25					1											1
u	* = (				3				,	4		) и значени е ф у нкци и в нейравно																									* ) =u					1	. П о кажем, чт о
u	* = (								,	25		) и значени е ф у нкци и в нейравно																									* ) =u						. П о кажем, чт о
			25							25																															25
эт а т о чка являет с я т о чко йми ни му ма. Для эт о го																																				с о с т ави м при ращени е
u			(	3						h	,		4		+ h= ), у до+ влет во ряющу ю о грани чени ю
u			(							h	,		25		+ h= ), у до+ влет во ряющу ю о грани чени ю
			25							1			25			2
			3										4						=		. 1hО+т)+с юда+о чеви дно , чт о																		1 +					2 = 0 и
3(									1				(	4h		)		2																													h4		3h
3(		25							1				(	4h		)		2																													h4		3h
		25				3							25
h2			= -			3		h1. П					о с чи т аем значени е ф у нкци и
h2			= -					h1. П					о с чи т аем значени е ф у нкци и
			4
							3						2					4				2			3						2	4				3					2		1			25	2	>	*	)h. + u(I =
			(							) u(I			1			(		h	)	2				(	h		)			1		(	h		)			h1 )									1
			(							) u(I			1			(		h	)	2				(	h		)			1		(	h		)	4		h1 )					125		16		1
							25										25								25							25				4							125		16
			П ример3. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю
																									= u1u2						® inf									e		) u(I
при о грани чени и																									1 u+			2 u= . 1
Со с т ави м ф у нкци ю Л агранжа																									1 u+			2 u= . 1
Со с т ави м ф у нкци ю Л агранжа																														u1u2											− ). +1					uλ + u(			λ = e				λ) λu, u
																											0			u1u2		01			1				2		− ). +1					uλ + u(			λ = e				λ) λu, u
Ч ас т ные про и зво дные и меют																								ви д			0				2	01			1				2		1		1
Ч ас т ные про и зво дные и меют																								ви д
																∂L					u u						λ +;				∂L	u= λe			u u2 1							λ +				= λ		1 2
																															e						u
																∂u1															e						u
																∂u1				0				2			1			∂u2		0							1				. 1
В ыпи шем с о о т вет с т ву ющу ю с и с т ему у равнени йдля о пределени я
парамет ро в и о пт и мально йт о чки :
																				ì		0		u1u2		2 l 1 = 0l + e u
																				ì		0				2 l 1 = 0l + e u
																				ï				u1u2		1 l 1 = 0l. + e												u
																				í		0		u1u2		1 l 1 = 0l. + e												u
																				ï				2 +				= 0u				u
																				î				2 +			2	= 0u				u
Рас с мо т ри м с лу чай, ко гда λ0																							= 0 . Т о гда и λ1									= 0 . Н ас						эт о				не у с т раи вает .
П у с т ь λ0 = 1. П													о лу чаем с леду ющу ю с и с т ему :

u u

1 =+0l ì

u u

- 1

= 0

ì) ueu1 u(= u2

1 2

e1 2

u u

1 =+0l;

u u

1 =+0l. e

1 2

í e

1 2u 1

=+0l; íe

1 2u 1

= 0u

= 2/ 1u

О т ку да: 1

Во зьмем

+1 +

14/

Ju(

λ− = 2e1/ . Со о т вет с т венно :

) ,2/ u1, 2/ 1(= e

про и зво льну ю т о чку

+ 1

2 ) h т аку2/ 1,ю,h u2/чт о1(

= 1, hт .е2/. 1 h +12/

= 0h hи ли

= −h

Значи т :

−

1 ) . hВ ычи2/ 1,с лиhмu2/значени1(

е целево й ф у нкци и в эт о й т о чке.

−h12 4/+11	14/)	−h1 2/ 1)(	h 2/(1		до с т авляетe ) Ju(
		==	£). u(JП о лу чаем= e , чт о e u		до с т авляетe ) Ju(

целево йф у нкци и наи бо льшее значени е.

За да ни я для са м ост оят

ельной ра бот ы

М и ни ми зи ро ват ь с леду ющи е ф у нкци и :

=→ inf+

) Ju(2)

u u u

) Ju(

1 2

3 → inf

4 +

4 = u1. u

+ +

= 1. u

→ inf

u u

) Ju(

2 =+1, +u+ u+

= 0 . u

Д О С Т АТ О ЧН О Е У С Л О В И Е Л О К АЛ Ь Н О Г О МИ Н И МУ МА В

ЗАД АЧАХС О Г РАН И ЧЕ Н И ЯМИ Т И П А РАВ Е Н С Т В

П ри ведем до с т ат о чные у с ло ви я ло кально го у с ло вно го ми ни му ма. Бу дем

предпо лагат ь, чт о вект о ры

′

* )

являютu( g с я),...ли,нейноu(

g ),g u(

s u

незави с и мыми в т о чке u*. П

у с т ь

* λ*0

λ* ) - ,решени, (u

е с и с т емы

ì ¶L

n ,...,

1 0j,

(11)

u j

,...,

1 i, 0

)gu(

î i

В ект о р u разо бьем на две час т и . О дна являет с я (n-s) – мерным вект о ро м. В

дальнейшем ее бу дем о бо значат ь через			Î	n−s , uвт оRрая являет с я s-мерным
вект о ро м, ее мы б у дем о бо значат ь через				sv, т .Rе.
æ	u	1	ö	æ v	ö
ç		1	÷	ç 1	÷
u = ç ...			÷,v = ç ...		÷.
ç			÷	ç	÷
èun−s			ø	è vs	ø

Т аккаквект о ры

s предпо,...,

1лагаютi ),

сv,яgлиu(нейно незави с и мыми ,

т о

переменные v мо жно

выбрат ь т ак, чт о бы в о крес т но с т и т о чки

* )

v, (u

выпо лняли с ь у с ло ви я т ео ремы о неявных ф у нкци ях, и с и с т ема уравнени й

s о пределяет,..., 1 i, 0неявные) v,gu(

ф у нкци и

в,...,

i ), vu(

о крес т но с т и

т о чки

* ). Задачv, (uу (6)-(7) мо жно

запи с ат ь в ви де

I(u,v) → inf,

(12)

−

= u,(13)s ,..., 1 i, 0

s дважды,..., 1непрерывноi, g,I

. R v,

П у с т ь ф у нкци и

ди ф ф еренци ру емы.

В ведем о бо значени я

¶2L

¶u2

...

¶v2

...

¶u

¶v

−

1 n s

...=

...

÷, ...

...

÷,L

...

¶2L

...

¶2L

...

¶2L

¶u ¶u

¶u2

¶v ¶v

¶v2

1−s n

n−s

¶2L

¶v ¶u

...

¶v

¶u

¶u ¶v

...

¶u

¶v

−

÷,L

...=

1 n

...

¶2L

...

÷, ...

...

¶2L

...

¶2L

¶v ¶u

¶u ¶v

¶u

¶v

1−s n

−

−s øn

s øn s

¶g

1 ...

¶g

...

¶g

)öv,gu(

¶un−s

¶u1

¶v1

...

¶vs

...

) v,= gu(

...

= ç

...

÷,g

...= ç

...

÷. ...

ç ¶gs

¶gs

ç ¶gs

¶gs

)øv,gu(

¶u

...

¶v

...

¶v

¶u

n−s

Т еорем а . П у с т ь выпо лняют с я у с ло ви я:

1.	λ0,λ**), –v,с т(ациu			о нарная т о чка ф у нкци и Л агранжа.
2.	Ф у нкци и	i	=	s дважды,..., 1непрерывноi, Ig,			ди ф ф еренци ру емы в
неко т о ро йо крес т но с т и				т о чки	* * );	v, (u
3.	В т о чке	*	* ) матv, (риu ца		v* )	и*v,меетg u( о брат ну ю.

4. М ат ри ца (размера (n-s)x(n-s))

		1	T T 1	+	T T 1		−1	− −	−	L )
		v uv	u uuv	+	u	v vu	−v	uvv,= g g− L(14)) g(	g	L )
вычи с ленная в т о чке		λ*	λ* ) по, ло,жиv,т ельно(u			о пределенная.
		0*	*
Т о гда т о чка	*	* ) являетv, (u с я т о чко йло кально го ми ни му ма задачи (6)-

(8). Со глас но кри т ери ю Си львес т ра, с и ммет ри чес кая мат ри ца являет с я по ло жи т ельно о пределенно йт о гда и т о лько т о гда, ко гда вс е

по с ледо ват ельные ми но ры на главно йди аго нали мат ри цы по ло жи т ельны.

	Н Е К О Л Ь К О			П РИ МЕ РО В РЕ Ш							Е Н И Я ЗАД АЧ
	П ример1. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю
				=			31	→ inf								u		u u u) J(
							31	2
при о грани чени ях
				+		3	= 12 ,			2		u−u			2		=u82.u			u	2u
						3	2	1		2		1			2
1.	В ыпи шем ф у нкци ю Л агранж а
	λ λ = λ				+ λ		+				−			+ λ						−	2	−		).8			2	u u2(	3	2	)	12
																					2			1			2		3	2		2
2.	Н айдем час т ные про и зво дные ф у нкци и Л агранж а
			∂L								2l		2	+u 2lu +u							03	= l
											2l			+u 2lu +u								= l
			¶u1															2	1				2
			¶u1
		¶L									u			l -u 2 lu+u l									1	+	1	3	= l
											u			l -u 2 lu+u l										+			= l
		¶u2													2				3	1	1			0
		¶u2			¶L
					¶L			l +u2 1 u=ul20 1
					¶u3			l +u2 1 u=ul20 1
					¶u3
3.	Решаем с и с т ему
	ì										2	= 0l				2	+l2 lu + 2 u u
	ï										2					2	1			03	2
	ï											2	= 0l - lu+l lu + 2 u u
	ï											2					3	1		1	1			03		1
	ï								l= 0			lu+						u u
	í							2	l= 0			lu+						u u
	í							2		1		20			1
	ï					+		3 =2121							u u				u2u
	ï					+		3 =2121				2			u u				u2u
	ï					1 -	2 = 8					u		2u
	î					1 -	2 = 8					u		2u
	Рас с мо т ри м с лучай λ0 = 0 . Си с т ема при мет										ви д:

ì		2	=l0l				+ 22		u
ï		2		1	2
ï			2	= 0l - l l u+ 2 u
ï			2				3	1 1	1
ï	l1u2 = 0						.
í	l1u2 = 0						.
ï	+	3	= 12				2	u u	u2u
ï		3	2		1		2
ï	1 - 2 = 8					u		2u
î	1 - 2 = 8					u		2u

о с ко льку u2 ¹ 0 , т о

l1 = 0 , а с ледо ват ельно , и

l2 = 0 . Э т о т

с лу чайнас не

у с т раи вает .

П о ло жи м λ0

= 1. П о лу чи м с и с т ему :

= 0l + 2+ì lu 2 u u

= 0l + 2+

lu 2 u u

= 0l -

lu+ +

lu 2 u u

= 0l - lu+ +

lu 2 u u

3 1

1 1

1 3

3 1

1 1

1 3

= 0

= 0+ l)

.u u(

+ lu u u

1 2

1 1 2

= 12

u u

u2u

= 12

u u

u2u

1 2

1 - 2 = 8

u 2u

1 - 2 = 8

u 2u

Си с т ема экви валент на с леду ющи м дву м:

= 0

= 0l + 2+

lu 2 u u

= 0

= 0l - lu+ +

lu 2 u u

3 1

1 1

1 3

= 01 и+1

1 l3u 2 u1 ul-u=1

í+u

0 = 12

= 12

u u

u2u

3 2

u1 = 4

1 - 2 = 8

u 2u

ервая с и с т ема нес о вмес т на, по эт о му решаем вт о ру ю.

- = 0l + 2ì

u u2 u u -

- = 0l + 2

u u2 u u2

= 0l --ï

u- u

u2 u u-= 0l -

1 l-u=1

= 12

u uï

u2u

= 12

u u

u2u

3 2

1 - 2 = 8

u 2u

1 - 2 = 8

u 2u

-u4

u u4

=- 0

-u4 -) 8

u2( u4 12

- = 0

2-= 0l -

l-u=

u u ï

= 12

u2u

= 12

u u

u2u

3 2

1 - 2 = 8

u 2u

1 - 2 = 8

u 2u

= 0

-u4- ì u+

u8 12= 0 -+ 12 + u 32

u 12

2-= 0l -

1 l-u=1

=12

u u

ï u2u

= 12

u u u2u

2 1 2

3 2

1 - 2 = 8 u 2u

1 - 2 = 8

u 2u

Решая перво е у равнени е с и с т емы, нахо ди м

1 = u−

3/ и1 u1 = 3 . П о лу чаем

λ =

= −

λ =

λ2 = − 9/1и2

, 3/ 1 3

, 39 / 228 0

= −

= −18.

, 3

u, 2

u, 3 1u,

ро вери м, выпо лнено

ли

до с т ат о чно е у с ло ви е для т о чки

(

− −

−

−18). ,Бу3 дем, 12с чи, т23ат, ь u = u1 - незави с и мо йпеременно йи

= u

-vфv,у нкциu

ями о т

В ыпи шем вс е мат ри цы, вхо дящи е в

¶2 L

ф о рму лу для вычи с лени я мат ри цы D. Luu

= 0 ,

¶u12

¶L

¶ ¶L

(

u+, ), 2

= ç

= l

¶v

è ¶u ø

¶u

¶u ¶u

¶u1 ø

¶L ö

¶L

æu

+ 2l

= ç ¶u1 ¶u

2 ÷

÷,

¶u

¶v

¶ ¶L ÷

u 2

¶u1 ¶u

3 ø

¶2L

¶2 L

¶u 2

u1 + l1

¶u

= ç

+ l1

èu1

¶u

æ ¶g

¶g

u 21

u 3

æ0

- u2

¶u

= ç

, g−1

÷ ,

ç ¶g

¶g2

-1

+ u

1 u2

3 ø

¶u 2

¶u3

¶g

1ö

æ2u

= ç

(gT )

÷ , g

= ç

¶u1 ÷

= ç

÷ .

+ uu

u2u

¶g2

2 3

¶u1

о с чи т аем про и зведени е

- u

öæ2u 2

−1

(

ul ),+

=ç2

3 0

L÷gç

+ u4;+ lu2= -

2 0

ç1 u

÷ç

2 è

+ u

1 u2

3 øè

−1

1 æ

öæu3 + 2l1 ö

(

)

= (

2,)

u2ç

L g g

÷ç

=+ lu4;- 4 2u

ç-

+ uu

÷çu2 u

øè 1

(

T )−1

2 è

2 3

−1g g= L g g

uvv

öæ

+ l1

öæ0

- u2

öæ2u2

= (

2,)

÷ç

+ uu

÷ç

+ l

÷ç

+ u

÷ç

øè

1 u2

2 3

3 øè

(

l u-)2 l u- 4 l u- 2 u-u2 -u4= u2-u

П о дс т авляя значени я мат ри ц в ф о рму лу для вычи с лени я D, нахо ди м

l u+)2 l u+

u2 u4 u2 D 4

u21

1 1 2

112

3 1

(

= −

< 0

, D40

−

/− 28

, 3/

26 , 13/

−18−−)

, 3−, 12 , 23,

(

/ 9) 2 , 3/ 1,−−39

(

=-12-)uне, 2до, 3с т авляет

Следо ват ельно , т о чка

ми ни мально е

значени е целево йф у нкци и , а т о чка

(

39-)/до=28с-т авляет, 3/

26u

, 3/ 1

ми ни мально е значени е целево йф ункци и при заданных о грани чени ях.

П ример2. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю

→ inf

u u

) Ju(

при о грани чени ях

2 =+1, +u+ u+

= 0 .

u u

В ыпи шем ф у нкци ю Л агранж а

+ 3 )+. u2 2 lu+1+ u(-

)1 +

1 2 0 3 32 1 0

Н айдем час т ные про и зво дные ф у нкци и Л агранжа

∂L

2lu+u

= l

¶u1

¶L

2lu+u

= l

¶u2

¶L

2lu+ u

= l

¶u3

Решаем с и с т ему

ìl

+ l

+ l2 = 02 1

03u 2 2 u u

= 0l +l lu+ 2 u u

=+u1

=+ 02

+ u

Рас с мо т ри м с лучай l0 = 0 .

+ l2 =1 02

ì2 l u + l2

=1 02

ì2 ul2 = 0

l= 0l +

ï2 ul

= 0

1 1

= 02 u

1 2

l= 0l +

= 0 2 u

l= 0l +

ï2 u

ï2 ul

1 3

2 1 3

ï 2

=+u1

ï 1

=+u1 +u

ï 1

=+ 0

+ u u

Э т а с и с т ема экви валент на с леду ющейс о во ку пно с т и с и с т ем

l2 = 0

u1 = 0

l1 = 0

u3 = 0

+ïu 2

=+1

ï 1

=+ 02 + u

31 =+ 02

+ u

П ервая с и с т ема и меет решени е, но

= l

= 0

, чего быт ь не мо жет .

В т о рая с и с т ема экви валент на с леду ющейс и с т еме

= 0

=+u1

ï 1

u 2

= 0

Э т а с и с т ема нес о вмес т на. П

о эт о му l0 ¹ 0.

П о ло жи м λ0 = 1. Си с т ема при мет ви д

+ l + l2 = 01 1 ì(

2 3-u 2)(u u- l1 ) = 023

1 2 uu u

= 0l +ï+(

lu 2)( u u -)

= 0 l - 2 uu u

2 1

1 3

= 0l +

ï+ lu

u u

= 0l + +

lu 2 u u

3 1

í1 2

1 1

2 3

u 2 =+u1 +u

2 =+1 +u u

31 =+ 02 + u

31 =+ 02 + u u

Си с т ема экви валент на с о во ку пно с т и

чет ырех с и с т ем

																												19
								ì							u 2 = u1																						ì				u3 = u2
								ï							u3 = u1																						ï				l1 =		u		2
								ï																													ï								2
								ï																													ï					2
								ï															=		0l + +								lu				ï			u		2							;
							1.															2	=		0l + +								lu				22.u			u									;					lu
								í														2			1 1						2 3						í										2	= 0l + +				2		lu
								ï				2				2		2			=+1				+u u												ï			2	2				2		2		1	1		2			3
								ï				2				2		2																			ï			2	2				2		=+1 +u u
								ï				1				2		3																			ï			1	2				3		=+1 +u u
								ï										31		=+ 0				2	+ u						u						ï								31 =+ 02 + u u
								î										31						2													î								31 =+ 02 + u u
								ì							u1 = u2																						ì				u1 = u3
								ï							l1 =		u2																				ï				l1 =			u3
								ï									u2																				ï							u3
								ï										2																			ï
								ï										2							;												ï					2							.
							3.í																=		;												4.í												.					lu
																						2	=		0l + +						2		lu 2 u u														2	= 0l + +				2		lu
								ï				2				2		2				2			1		1				2		3				ï			2	2				2		2		1	1		2			3
								ï				2				2		2			=+1				+u						u						ï			2	2				2		=+u1 +u
								ï				1				2		u3			=+1				+u						u						ï			1	2			u3			=+u1 +u
								ï										31 =+ 02							+ u u												ï								31 =+ 02 + u u
								î										31 =+ 02							+ u u												î								31 =+ 02 + u u
			Н ет ру дно							ви дет ь, чт о									первая с и с т ема нес о вмес т на, вт о рая экви валент на
с и с т еме																										u3				= u 2
																				ì						u3				= u 2
																				ï					1			u= - u2
																				ï					1								2
																				ï										2	= 1						6u ,
																				í										2	= 1						6u ,
																				ï						l				=		u2
																				ï						l		1		=		2 l u- 2 ul-u=
																				ï								1
																				ï
																				î																	1 1			2	3 2
решени ем ко т о ро йявляет с я вект о р
u				2						u			, u			1									1		,			2		=		1	l. А нало±ги=чноl по лу±чаем=													,=чт о			= ±
u										u			, u														,					=			l. А нало±ги=чноl по лу±чаем=													,=чт о			= ±
				6												6,								2	6								6							1	1	3					2
				6												6,								2	6								6
решени ем с и с т емы 3 являет с я вект о р
u				1		, u						1			u			2												1			,			2	=	1	λ, а с и с т±емы=			λ4 -					± =						± =
u						, u									u																		,				=		λ, а с и с т±емы=			λ4 -					± =						± =
				6								6,								6,								2			6						6				1						13							2
				6								6,								6,								2			6						6
u				1	, u							2			u			1												1			,			2	=	1	l.		± = l						± =						± =
u					, u										u																		,				=		l.		± = l						± =						± =
				6								6,								6,								2			6						6				1						13							2
				6								6,								6,								2			6						6
			П	ро вери м, выпо лнено ли до с т ат о чно е у с ло ви е для т о чки
æ	1		,-	2			1				1				1	ö
ç						,			,				,			÷. В ыдели м незави с и мые и зави с и мые переменные.
ç						,			,				,		6	÷. В ыдели м незави с и мые и зави с и мые переменные.
è	6			6			6			2		6			6	ø
Бу дем с чи т ат ь u = u														1	- незави с и мо йпеременно йи																									=		= u				3	-vфv,у нкциu				ями
		u1 .												1																																3		1	2	2
о т		u1 .		Для т о го						чт о бы выпи с ат ь вс е мат ри цы, вхо дящи е в ф о рму лу для
вычи с лени я мат ри цы D (в данно м с лу чае мат ри ца выро ждает с я в чи с ло ),
по с чи т аем вт о рые час т ные про и зво дные ф у нкци и Л агранжа
																	¶2 L											¶2 L										¶2L
																	¶u12					= 2l1 ,							¶u22				= 2l1 , ¶u32 = 2l1 ,

2 u u

= ±

2 L

¶2L

= u3 ,

¶2 L

= u2 ,

2 L

¶2 L

= u1 ,

¶u1¶u

¶u 2¶u1

¶u3¶u1

¶u1¶u3

¶u 2¶u

¶u3¶u 2

(λ0 = 1).

П о эт о му

( *

* )

L , 1u

L* ,*

)

, λ

(

)u*

)

(- 21,), =

l =

1(u ,λ

,λ

æ u

æ2l

1 æ1 1ö

(L ,lu)=

(

-21,,)

(L ,lu)=

(u* ,λ* )

èu2

ø(u* ,λ* )

l1 ø

6 è1 1ø

ç 1

ç-

−1

* *

(

g,lu)=

(

g, u) l-

÷ ,

ø(u

,λ

)

ç-1 -

1÷

-1

v ( g,lT*u)=* ç

÷,

( Tv )−1g( * ,

*u) l-

1÷

(

2u2

g,lu)

6 ÷

ø(u

)

,λ

П о дс т авляя значени я мат ри ц в ф о рму лу для вычи с лени я D, нахо ди м

> 0 . =-

Следо ват ельно , т о чка u

÷ до с т авляет

ми ни мально е

значени е целево йф у нкци и при заданных о грани чени ях и эт о

значени е равно

. В о с т альных т о чках до с т ат о чно е у с ло ви е про веряет с я анало ги чно .

За да ни я для са м ост оят

ельной ра бот

М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю

→ inf

u u

) u(I

при о грани чени ях

=+ , 1+

31 ≤ .20

М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.2016510.54 Кб4A_slabo_2012-06-01.pdf
#
20.05.201571.68 Кб23Babaev.doc
#
21.05.201540.8 Mб1456BC400_RU_ECC_2005.pdf
#
21.05.201521.37 Mб203BC430_EN_Col62_FV_Part_A4_-_ABAP_Dictionary.pdf
#
19.03.201649.15 Кб11Beda_Dostopochtenny.doc
#
21.05.2015195.23 Кб12belousova_method_2.pdf
#
21.05.20151.05 Mб29besov.pdf
#
21.05.20156.89 Mб26Betekhtin.pdf
#
25.11.201999.33 Кб2Bilety_po_glazam.doc
#
21.05.2015879.83 Кб13bilet_1-50.pdf
#
21.05.2015789.95 Кб8block_ciphers.pdf