Методичка по ФОКИ

Приложение 1. Атомные единицы Хартри

В атомной системе в качестве исходных единиц приняты следующие: e – абсолютная величина заряда электрона; ~ – постоянная Планка; me – масса электрона. То есть, в атомных единицах Хартри e = 1 , ~ = 1 и me = 1 . Как и в гауссовой системе единиц, диэлектрическая

Таблица 1. Некоторые единицы атомной системы Хартри.

постоянная вакуума безразмерна и равна единице. Поэтому энергия

31

взаимодействия двух электронов имеет вид

U = e2 . r

Используя эту формулу можно определить все остальные единицы измерения [5]. В табл. 1 приведены некоторые из них; α в этой таблице

– постоянная тонкой структуры, α ≈ 1/137 .

Стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода в атомной «хартриевской» системе единиц имеет вид

− 2 − Z ψ(R) = E ψ(R).

2 r

Следует учитывать, что в научной литературе также используется атомная «ридберговская» система единиц, в которой это уравнение Шредингера приобретает следующую форму

− 2 − 2 Z ψ(R) = E ψ(R). 2 r

32

Приложение 2. Метод Нумерова

Численное интегрирование дифференциального уравнения второго порядка вида

при известном начальном условии для функции удобно выполнить методом Нумерова. Этот метод часто используется при решении задач квантовой механики. Однако, в стандартных курсах по численным методам он, как правило, не рассматривается. Поэтому получим расчетную формулу этого метода для данного частного случая S(x) = 0 (см. формулу (11)).

Разложим функцию ψ(x) в ряд Тейлора вблизи x = 0 :

ψ(x) = ψ(0) + ψ′(x)|0 · x + 2!1 ψ′ ′(x)|0 · x2 + 3!1 ψ′ ′ ′(x)|0 · x3 + . . . (47) Будем считать, что нам известны значения функции в узлах одномерной сетки c постоянным шагом h :

Исключим значение четвертой производной функции в n-м узле сетки. Воспользовавшись формулой (46), можно выразить эту величину в виде

33

что позволяет приближенно представить четвертую производную функции (51) формулой

Разрешив это уравнение относительно ψn+1 или ψn−1 , получим рекуррентные формулы для интегрирования соответственно «вперед» или «назад». Итак, для интегрирования «вперед» имеем

ψn+1 = [2(1 − 5 c qn)ψn − (1 + c qn−1)ψn−1] (1 + c qn+1)−1,

а для интегрирования «назад»:

ψn−1 = [2(1 − 5 c qn)ψn − (1 + c qn+1)ψn+1] (1 + c qn−1)−1,

Здесь c = h2/12 . Отметим, что метод Нумерова имеет локальную погрешность O(h6) . Точность метода Рунге-Кутты четвертого порядка, которым можно воспользоваться для интегрирования эквивалентной системы двух уравнений первого порядка, имеет погрешность O(h5) .

34

Список литературы

1.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматлит, 2004. 800 с.

2.Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992. 518 с.

3.Воробьев Е. М. Введение в систему символьных, графических и численных вычислений «Математика - 5». М.: ДИАЛОГ - МИФИ, 2005. 368 с.

4.Давыдов А. С. Квантовая механика. М.: Hаука, 1973. 703 с.

5.Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1977. 334 с.

35