9. Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные

матрицы.

Определение 15. Матрица порядка п называется вырожденной, если

ее ранг r < n.

1.3. Определители 2 7

Определение 16. Матрица А ' называется обратной по отношению

к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

-1 -1

АА=А А = Е.

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не

существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой

матрицы порядка п ее ранг г< п, то для нее не существует обратной

матрицы.

Сформулируем правило нахождения обратной м-цы на примере м-цы А. 1. Находим опр-тель м-цы. Если Δ ≠0, то м-ца A-1 сущ-вует. 2. Составим м-цу В алгебр-ких доп-ний элементов исходной м-цы А. Т.е. в м-це В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое доп-ние Aij (см. 1.3.) элемента aij исходной м-цы. 3. Транспонируем м-цу В и получим BT. Транспонировать м-цу - это значит поменять строки и столбцы местами (1ый столбец с 1ой строкой, 2ой столбец со 2ой строкой и т. д.).

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>),чтобы матрица А была невыражденной — detA<>0;1. необходимые условия. Дано: А, А^-1; Док-ть: detA0; Док-во: Предположим detA=0; AA^-1=E; |AA^{- 1}| = |A| |A^-1| = |E| = 1; |AA^{- 1}| =0; Противоречие, значит|A|0;2. достаточные условия: Дано A, detA0; Док-ть: A^-1-?; Док-во: AA^-1=E -?;A(a₁₁, a₁₂…a₃₂, A₃₃); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A₁₁, A₁₂…A₃₂, A₃₃)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: B^T= (A₁₁/Δ, A₂₁/Δ…A₂₃/Δ, A₃₃/Δ); B^T=A^-1-?; B^TA=E -?(a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃)*(A₁₁A₁₂…A₃₂ A₃₃)=(a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃/Δ)=(1 0..0 1)=E;a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₂₃A₁₃ = 0; a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=Δ..

10. Ранг матрицы и системы векторов

1. Пусть дана матрица А, состоящая из т строк и п столбцов. Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют

квадратную матрицу k-ro порядка; определитель этой матрицы является минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-то порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел тип, т. е. max & = min (m, n).

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 19. Наибольший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом этой матрицы.

Определение 20. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы.

Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

Заметим, что в общем случае у матрицы может быть несколько базисных миноров.

В 1.2.6 было дано определение ранга матрицы как наибольшего числа линейно независимых ее векторов-строк (столбцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны. Приведеное в данном разделе определение дает возможность вычислять ранг матрицы, а значит, и ранг системы векторов.

Т. к. диагональная система векторов всегда является линейно независимой, ранг матрицы (эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы)

1) к строке (столбцу) можно прибавить какую либо строку (столбец), предварительно умножив на какое – либо число

2) Строки (столбцы) можно переставить местами

3) Нулевая строка (столбец) может быть удалена

4) может быть удалена одна из двух пропорциональных строк (столбцов)