- •Небесная механика
- •Постановка задачи
- •Уравнения движения
- •Интеграл Якоби
- •Поверхности Хилла (поверхности нулевой скорости)
- •Особые точки поверхностей нулевой скорости
- •Коллинеарные точки Лагранжа
- •Компланарные (тригональные) точки Лагранжа
- •Дополнительное рассмотрение: линии Хилла в плоскости орбиты
- •Дайте понятие биполярных координат.
- •Критерий Тиссерана
Особые точки поверхностей нулевой скорости
Особые точки поверхности определяются, как известно, уравнениями .
Для поверхностей нулевой скорости, уравнение которых имеет вид
[12]
особые точки даются уравнениями
[16]
Сравним правые части полученных уравнений с уравнениями движения тела бесконечно малой массы Р [7]:
Это уравнения, определяющие положения особых точек поверхностей нулевой скорости. По определению самих этих поверхностей . Поэтому
Итак, тело Р, имея соответствующее значение постоянной Якоби и оказавшись в особой точке, будет двигаться с нулевой скоростью и нулевым ускорением! {1} Особые точки поверхности нулевой скорости являются положениями относительного равновесия тела Р; в этих точках тело может находиться в равновесии относительно вращающейся системы координат. {2} Об устойчивости равновесия пока ничего сказано не было.
Кроме того, выражения пропорциональны направляющим косинусам нормали во всех обыкновенных точках поверхности . {Вспомним – уравнение нормали к поверхности : , где a,b,c – текущие координаты нормали} Поэтому если бесконечно малое тело Р оказалось на поверхности нулевой скорости, то оно начнет двигаться в направлении нормали. {3} В особых точках положение нормали становится двойным и там тело Р может оставаться в покое относительно вращающейся системы координат.
Особые точки поверхности нулевой скорости называют точками либрации или точками Лагранжа. {4}
Где лежат особые точки? Третье уравнение системы [16] может быть удовлетворено только при z=0. Следовательно, все особые точки лежат в плоскости XOY – плоскости орбиты тел S и J. {5}
ВОПРОСЫ.
-
Как будет двигаться тело Р в особых точках поверхностей нулевой скорости?
-
Являются ли особые точки поверхностей нулевой скорости точками равновесия?
-
Если тело Р находится на поверхности нулевой скорости – как оно будет двигаться в последующие моменты времени?
-
Что такое точки либрации и точки Лагранжа?
-
Где лежат все особые точки?
Коллинеарные точки Лагранжа
Координаты особых точек являются решениями системы [16]:
[16]
Рассмотрим решения, когда . В этом случае искомые особые точки лежат на оси OX и их абсциссы удовлетворяют уравнению
[17]
В знаменателях находятся положительные величины. Пусть – малая положительная величина. Тогда при и левая часть уравнения ;
при ,
при ,
при ,
при ,
при ,
Функция три раза меняет знак, переходя через ноль:
-
один раз между и телом S;
-
один раз между телом S и телом J;
-
один раз между телом J и .
Поэтому на линии, соединяющей центры тел конечной массы S и J, имеется три особых точки. Это первая группа решений называется коллинеарными точками Лагранжа или коллинеарными точками либрации. {1}{2}
Поскольку в уравнение [17], определяющее положение коллинеарных точек, входят массы тел, то их положение существенно зависит от соотношения масс в рассматриваемой системе тел. {3}
ВОПРОСЫ.
-
Где расположены коллинеарные точки Лагранжа?
-
Сколько известно коллинеарных точек Лагранжа?
-
Зависит ли положение коллинеарных точек Лагранжа от соотношения масс в системе 3-х тел?