- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
Использование производной в задачах прикладного характера.
Задача 1. Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объём при данной полной поверхности S.
Решение: Пусть радиус основания цилиндра равен x, а высота равна y.
Тогда
Следовательно, объём цилиндра выразится так:
Задача сводится к исследованию функции V(x) на максимум приx> 0.
Н
и
приравняем её к нулю, откуда
Найдём
П
выполняется
условие ,то
объём имеет,
наибольшее
значение причем
т.е осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.
Ответ: Цилиндр с квадратным сечением имеет наибольший объём при данной полной поверхности S.
План действий при решении задач прикладного характера.
Обозначить некоторую неизвестную величину прикладной задачи переменной x.
Записать ту величину, которая должна быть по условию наименьшей ( наибольшей ) как функцию переменной x.
Исследовать полученную функцию на экстремум, используя производные 1-го порядка и второго порядка, найти значение x, соответствующее точке экстремума исследуемой функции.
Записать ответ, вернувшись к прикладному значению x.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Задача.Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на сегменте -2; 2
Решение: Найдём критические точки и исследуем их на экстремум.
В точке x=0 функция имеет максимум, равный f(0)=3.
В каждой из точек x=-1 и x=1 функция имеет минимум, равный f (-1)=f (1)=2
Найдём значения функции на концах сегмента :
Итак , наибольшее значение равно 11, а наименьшее 2.
Задача . Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой в точке А (0; 1).
Решение: Радиус кривизны вычисляется по формуле:
Дважды дифференцируя данную функцию, находим
Вычислим значения производных у' и у" в заданной точке А (0; 1), т.е. при x = 0; имеем y¢(0) = 2; y¢¢ (0) = - 4.
Тогда радиус кривизны:
Для нахождения координат центра кривизны С(xс; yс] воспользуемся формулами:
Подставив в эти формулы координаты точки А и найденные значения производных, получим:
Итак, точка С (5/2; -1/4) — центр кривизны.
Кривая , точка А (0; 1), центр кривизны С (5/2; -1/4) и радиус кривизны R»2,8 .
Задача. Найти радиус кривизны кривой r = a sin3 j (трех лепестковая роза) в точке A (p/6; а).
Решение. Если кривая задана в полярной системе координат уравнением r=f (j), то радиус кривизны вычисляется по формуле:
Дважды дифференцируя данную функцию r= a sin 3j , найдем
Вычислим значения производных r¢ и r¢¢ в точке A (p/6;a), т.е при j=p/6 и r =a.
Имеем: r¢ (p/6)=0 и r¢¢ (p/6)=-9a. Подставив в формулу r =a, r¢=0 и r¢¢=9a, получим