- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
3. 2 Примеры решения задач.
Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А (2; 1; 0), B (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) найти объем пирамиды ABCD.
Решение. I. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;
(1)
где ах, ау, аг — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а — единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки и то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:
(2)
Тогда
(3)
Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор
Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим
Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор :
Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле
(4)
Применяя (4), получим модули найденных векторов:
,
2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :
Модули этих векторов уже найдены: , Следовательно,
¢.
3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :
4. Площадь грани ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и .Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани ABC будет равна половине модуля вектора:
_
кв. ед.
5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение
Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.
3. 3 Вопросы для самопроверки.
Дайте определение вектора.
Какие векторы называются равными?
Геометрическое и аналитическое толкование координат вектора.
Запишите модуль вектора между координатами.
Как выполняется сложение, вычитание, умножение вектора на число геометрически (рисунком) и аналитически (формулой).
Дайте определение базису пространства.
Запишите скалярное произведение двух векторов в векторной форме и между координатами перемножаемых векторов. То же для векторного и смешанного произведения.
Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.