- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
Тема 4. Введение в анализ.
Пискунов, гл 1, § 1-9, упр 1-9, 39, 40
Гл 2, § 1-5, упр 1-6, 9-29, § 6-8,
Упр 31-35, 41-48, § 9, 10, упр 57-59
§ 11, упр 60-62.
Понятие предела.
Определение.Числоаназывается пределом функцииy=f(x) в т. если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε >0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство < при <
Этот факт записывается так:
Если , то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности (x→∞).
Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т..
Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).
Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X0 .
Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).
При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел
второй замечательный предел , а также формулы ,
4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
I. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.
1-ый способ.Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.
Пример.
Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -
предельное значение функции y.
2-ой способ.Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:
Пример:
3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.
Таблица.
1.
2.
3.
4.
Пример:Найти
Решение.
II. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.
1-ый способ.Использовать правило Лопиталя.
Пример.Найти
Решение:
2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.
Пример.Найти [-бесконечно малые величины]=
Ответ:
Первый и второй замечательные пределы.
1. - первый замечательный предел.
Замечание. При x0sinx~x
Пример 1.
Найти
если заменить , т.к , то
Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.
Пример 2. представили основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины.
Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют выделить 2-ой замечательный предел. ( в квадратных скобках)
Непрерывность функции. Точки разрыва.
Определение 1.Функция называется непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x0 , если
где соответственно приращение аргумента и приращение функции.
Пример. Дана функция
Требуется : 1). Найти точку разрыва данной функции.
2). Найти и
3). Найти скачок функции в точке разрыва.
Решение.
Данная функция определена и непрерывна в
При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.
y
x=1- точка разрыва первого рода.
Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е (ед). –скачок функции.