- •Линейная алгебра Математический анализ Теория вероятностей и математическая статистика
- •Рецензент
- •Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 4. Введение в анализ
- •Тема 5. Производная и дифференциал
- •Тема 6. Приложения производной
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 7. Функции нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 8. Неопределенный интеграл
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 9. Определенный интеграл
- •Вопросы для самопроверки
- •Указания к выполнению контрольной работы № 3
- •Тема 10. Дифференциальные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема II. Ряды
- •Вопросы для самопроверки
- •Указания к выполнению контрольной работы № 4
- •Тема 12. Повторные независимые испытания
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 13. Случайные величины и их числовые характеристики
- •Тема 14. Элементы линейного программирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для контрольных работ Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Контрольная работа №3
- •Контрольная работа № 4
- •Приложения
Вопросы для самопроверки
1. Что называется событием? Приведите примеры событий; достоверных событий; невозможных событий,
2. Какие события называются несовместимыми? совместимыми? противоположными?
3. Что называется относительной частотой события?
4. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.
5. Сформулируйте классическое определение вероятности события.
6. Что называется условной вероятностью события?
7. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
8. Напишите формулу полной вероятности.
9. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?
10. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?
11. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.
12. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?
Тема 13. Случайные величины и их числовые характеристики
гл. 6. § 1—3, гл. 7. 8. 10. 11;
[7] № 165. 176. 188. 210, 254. 263, 276, 328, 341.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х 40 42 41 44
Р 0,1 0,3 0,2 0,4
Найти: 1) математическое ожидание М(Х);2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение .
Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
Х …
Р …,
где в первой строке даны значения случайной величины X, а во второй - вероятности этих значений, то математическое ожидавшие М(Х) вычисляется по формуле
М(Х) =.
Тогда М(Х) =.
2) Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.
.
Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от М(Х). Из последней формулы имеем
Дисперсию D(Х) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(Х) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть
.
Для вычисления М (X2) составим следующий закон распределения величины Х
Х40424144
Р 0,1 0,3 0,2 0,4
Тогда
и
D(X)=1799.8-42.4
3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонениеслучайной величиныX, равное квадратному корню из дисперсии D(Х), то есть
.
Из этой формулы имеем: .
Задача 21. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения
Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x);2)математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D (X).
Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f(x)непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F(х), то есть
F(x)=F’(x).
Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:
f(x)=
2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой
М(Х)=.
Так как функция f(х) при хравна нулю, то из последней формулы имеемМ(Х)=f(x)dx=dx=
3) Дисперсию D(Х) определим по формуле
D(Х)= .
Тогда
D(Х)=
Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.
Решение: 1) Пусть X — длина детали. Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(х), то вероятность того, что X примет значения, принадлежащие отрезку [;], определяется по формуле
Pf(x)dx.
Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то
, (1)
Где Ф(х) - функция Лапласа, а=М(х), D(x).
В задаче а = 40, = 34,=43, =3. Тогда
2) По условию задачи , гдеа = 40; =1,5.
Подставив в (1) ,,имеем
,то есть
(2)
Из формулы (2) имеем:
.
Вопросы для самопроверки
Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.
Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?
Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.
Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.
Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?
Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.
Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.
Сформулируйте правило «трех сигм».
Назовите сущность закола больших чисел.
Напишите неравенство Чебышева.
Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.