Тема II. Ряды

гл. XX1 § 1 — 14: № 2424, 2426, 2474, 2475, 2503, 2519. 2533.

Разберите решение задач 14, 15 данного пособия.

Задача 14. Написать первые три члена ряда

найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходи­мость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно m=1, 2, 3, ..., запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

, или, или -.

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

При х=-'--данный ряд принимает вид

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при m. Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,

х=-принадлежит области сходимости данного ряда.

При х=данный ряд принимает вид.

Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

=.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при х= исходный ряд сходится.

Таким образом, -область сходимости данного ряда.

Задача 15. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции sinх на , имеем:

sin =-

Тогда

=х-

==

=3-

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертым его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

3-

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5. Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6. Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

7. В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8. Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10. Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? условно сходящимися?

11. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12. Как найти область сходимости степенного ряда?

13. Запишите разложение в степенной ряд функций ,sin x, cos x, (1+х),

In (1+х).

13. Как обеспечивается требуемая точность при применение степенных рядов в приближенных вычислениях?

Указания к выполнению контрольной работы № 4

Тема 12. Повторные независимые испытания

[6] гл. 5; [7] № 112, 115, 119, 120, 131.

Разберите решения задач 16—19 методических указаний.

Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие А — из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В — из 4 семян взойдут 3 семени; событие С — из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(В)+Р(С).

Вероятности Р(В) и Р(С) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность не- наступления этого события равна q=1—р. Тогда вероятность того, что событие А в n испытаниях появится ровно R раз, вычисляется по формуле Бернулли

P(R)=C,

где C=- число сочетаний изn элементов по R.

Тогда

Р(В) =Р(3) =Срq=;

Р(С) = Р(4) =С.

Искомая вероятность

Р(А) =0,2916+0,6561 =0,9477.

Задача 17. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность Р(350) по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

,

Где и х=.

Из условия задачи р = 0,9; q = 1—0,9 = 0,1; n = 400; R = 350.

Тогда х=

Из таблицы 1 приложений находим (—1,67) =(1,67) = 0,0989. Искомая вероятность равна

.

Задача 18.Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10 000 семян бу­дет обнаружено 6 семян сорняков?

Ре шели е. Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности р = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения Поэтому при малых значениях рдля вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где е=2,7182...; = пр.

Эта формула используется при 10, причем чем меньше р и больше п,тем результат точнее.

По условию задачи р = 0,0002; n= 10 000; R=6. Тогда= 10 0000,0002 = 2 и

.

Задача 19.Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение.Если вероятность наступления события Ав каждом из писпытаний постоянна и равна р,то вероятностьтого, что событие А в таких испытаниях насту­пит не менее раз и не болеераз определяется по инте­гральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

,.

Функция Ф(х) =называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функ­ции для. При х>5 функция Ф(х)=0,5. При отрица­тельных значениях хв силу нечетности функции Лапласа Ф(-х)=-Ф(х). Используя функцию Лапласа, имеем:

.

По условию задачи n=500; р=0,9; q= 0.1; ;.По приведенным выше формулам находим:

;.

Тогда

.