Індив. завдання

Îтримуємо шукàну обернену мàтрицю:

Òемà. Çàгàльнà теорія систем лінійних àлгебрàїчних рівнянь

Òеоретичні відомості

Ìетод Êрàмерà розв’язувàння систем n рівнянь з nневідомими

Íехàй дàно систему трьох лінійних рівнянь з трьомà невідомими:

ìïa11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1, ía21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,

ïîa31x1 + a32 x2 + a33x3 = b3 ,

де a11 , a12 , …, a33 – коефіцієнти системи, b1, b2, b3 – вільні члени. Âведемо познàчення:

Îтже, якщо визнàчник системи не дорівнює нулю, то системà мàє єдиний розв’язок. Öей розв’язок знàходимо зà формулàми Êрàмерà:

відповідно ², ²², ²²² стовпця вільними членàми.

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

Ïриклàд 1.Ðозв’яжемо зà формулàми Êрàмерà систему рівнянь:

ìí2x1 + 3x2 =12 , î4x1 - 5x2 = 2 .

Çàпишемо відповідні визнàчники і знàйдемо розв’язки системи рівнянь:

11

Ïриклàд 2.Ðозв’язàти систему лінійних рівнянь методом Êрàмерà:

Îбчислимо невідомі зà формулàми Êрàмерà:

Ìàтричний метод розв’язувàння систем n рівнянь з n невідомими

Òеоретичні відомості

Ùоб розв’язàти систему рівнянь мàтричним методом необхідно:

1)Çàписàти основну мàтрицю коефіцієнтів при невідомих A, мàтрицю - стовпчик із невідомих X , мàтрицю - стовпчик із вільних членів B.

2)Îбчислити визнàчник мàтриці A, A . ßкщо A = 0, тоді системà

розв’язку не мàє. ßкщо ж A ¹ 0 , то переходимо до нàступного кроку.

3)Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці системи, тобто A−1 і помножити

їїспрàвà нà мàтрицю з вільних членів B. Îдержàний при цьому мàтриця-

стовпець X = A−1 × B і буде розв’язком системи.

12

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

Ïриклàд 1. Ðозв’язàти систему лінійних рівнянь мàтричним методом:

ìï2x1 + x2 + x3 = 7; í4x1 - x2 + 3x3 =1;

ïî8x1 - 3x2 + 6x3 = -2.

Îбчисливши àлгебрàїчні доповнення його елементів, отримуємо обернену мàтрицю:

Ìетод Ãàуссà розв’язувàння систем n рівнянь з n невідомими

Òеоретичні відомості

Ìетод Ãàуссà розв’язувàння системи т лінійних рівнянь з п невідомими являє собою метод послідовного виключення змінних з рівнянь системи. Ðозв’язàння ÑËÀÐ методом Ãàуссà можнà умовно розділити нà 2 етàпи: прямий тà зворотний хід.

13

Ìетод Ãàусà полягàє в послідовному виключенні змінних (невідомих) з рівнянь системи.

Ïрямий хід: зà допомогою першого (робочого) рівняння з усіх нàступних

нàступних рівнянь (перше рівняння нà дàному етàпі вже виконàло свою місію і в подàльших перетвореннях учàсті не бере, à переписується без змін; робочим тепер є друге рівняння).

Ïродовжуючи процес послідовного виключення невідомих, ми побàчимо, що системà нàбувàє простішого виду. Ïропускàючи деякі моменти, зàувàжимо, що зворотний хід методу починàється з відшукàння (àбо вирàження) певної змінної із остàннього рівняння системи, після чого знàходять знàчення інших змінних (àбо вирàзів для них), послідовно повертàючись від остàннього до першого рівняння.

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

Ïриклàд 1. Ðозв’язàти систему лінійних рівнянь методом Ãàусcà:

ìï x1 - 2x2 + 2x3 = 2;

í5x1 - 8x2 + 2x3 = -12;

ïî3x1 + x2 + 3x3 = 4.

Ðозв’язàння.

Ïрямий хід методу Ãàуссà. Âиключимо з остàнніх двох рівнянь x1. Äля цього помножимо перше рівняння нà (−5) і додàмо до другого рівняння, потім

14

обидві чàстини першого рівняння помножимо нà (−3) і додàмо до третього рівняння. Â результàті отримуємо систему, еквівàлентну дàній:

Çворотний хід методу Ãàуссà. Ç остàннього рівняння знàходимо: x3 = 3.

Ç другого рівняння відшукàємо знàчення змінної x2 :

x2 = -11+ 4 × x3 = -11+ 4 ×3 =1

Ç першого рівняння знàйдемо знàчення змінної x1 :

x1 = 2 + 2 × x2 - 2 × x3 = 2 + 2 ×1- 2 × 3 = -2.

Òàким чином, шукàний розв’язок системи: x1 = -2; x2 =1; x3 = 3.

Âідповідь: (-2; 1; 3).

Ïриклàд 2.Ðозв’язàти систему лінійних рівнянь методом Ãàусcà:

ìх1 + 2х2 + 3х3 = 2,

ï

ïíх1 - х2 + х3 = 0,

ïх1 + 3х2 - х3 = -2, ïî3х1 + 4х2 + 3х3 = 0.

Ðозв’язàння.

Çàписуємо розширену мàтрицю системи і виконуємо нàд нею елементàрні перетворення:

15

Çà остàнньою мàтрицею відновлюємо систему рівнянь:

ï1 + = 2;

íх2 - 4х3 = -4;2х2 + 3х3ìх

Ïриклàд 3.Ðозв’язàти систему рівнянь методом Ãàуссà:

ìx1 + 2x2 -2x3 + x4 + 2x5 = 4,

Ðозв’язàння.

Óтворимо мàтрицю коефіцієнтів:

Âиключивши невідомі х1 з першого рядкà, дістàнемо:

Âіднявши другий і третій рядки від четвертого, дістàнемо:

16

Ñистемà рівнянь суміснà, àле розв’язок не є єдиним. Ïоміняємо місцями третій і п’ятий стовпці. Òоді мàємо:

Öій тàблиці відповідàє системà рівнянь

Íевідомі x1, x2 , x3 – бàзисні, невідомі x4 , x5 – вільні. ²з системи рівнянь знàйдемо зàгàльний розв’язок:

де Ñ1 і Ñ2– довільні стàлі.

17

Ðозділ «Åлементи векторної àлгебри тà àнàлітичної геометрії»

Òемà. Âекторнà àлгебрà тà àнàлітичнà геометрія

Âектори

Òеоретичні відомості

Òеоремà. ßкщо у векторному просторі вибрàно будь-який бàзис, то довільний вектор цього простору можнà однознàчно подàти у вигляді лінійної комбінàції векторів бàзису (розклàсти зà дàним бàзисом).

Äійсно, нехàй в деякому n – вимірному просторі мàємо вектори

−− −

Âектори (à1, à2,..., àп ) утворюють один із бàзисів цього простору.

−− −

Ðозклàдемо вектор b зà векторàми à1, à2,..., àп , тобто вектор b подàмо у

−− −

Îскільки при додàвàнні векторів їх відповідні координàти додàються, à з рівності векторів випливàє рівність відповідних координàт, то векторнà рівність зàпишеться у вигляді системи n лінійних рівнянь з n невідомими:

ìх1à11 + х2à21 + ... + хпàn1 = b1,

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

Ïриклàд.

Äàно вектори a1 (1,1,2), a2 (−1,0,1), a3 (1,−2,−1). Äовести, що вектори утворюють бàзис тà знàйти координàти векторà b (1,−1,2).

Ðозв’язàння:

Ïокàзàти, що вектори à1,à2 ,à3 утворюють бàзис чотиривимірного

простору, знàйти координàти векторà b у цьому бàзисі. Çнàйдемо визнàчник

1 1 2

= -1 0 1 = 6 .

1 -2 1

18

Îскільки D ¹ 0 , то вектори à1,à2 ,à3 утворюють бàзис тривимірного

векторного простору, тому вектор b можнà подàти у вигляді векторної рівності b = x1a1 + x2a2 + x3a3 , якà в координàтній формі нàбувàє вигляду системи лінійних рівнянь:

ïî2x1 + x2 - x3 = 2 Ðозв’яжемо систему мàтричним способом.

Îтже, х1 =1; х2 =1; х3 =1; утворюють сукупність координàт векторà b в

−− −

бàзисі à1, à2, à3, , тобто в цьому бàзисі вектор мàє координàти (1; 1; 1) .

²нàкше: b = a1+ a2 + a3 .

Âідповідь: b = a1+ a2 + a3 .

Ïрямà нà площині Òеоретичні відомості

Ðівняння вигляду Ax + By + C = 0 нàзивàється зàгàльним рівнянням

прямої нà площині, де n ( A;B) – вектор нормàлі.

A(x - x0 ) + B( y - y0 ) = 0 .

19