Контрольные вопросы

1. Какова цель работы?

2. Физический смысл величин, измеряемых в процессе работы. Единицы их измерения?

3. Какие физические законы и явления изучаются или используются для выполнения данной работы?

4. Какой метод применен для решения поставленной задачи?

5. Как оценивается погрешность измерений и вычислений?

Лабораторная работа №24 Определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха

Цель работы: применить закономерности явлений переноса для вычисления средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха

Оборудование: экспериментальная установка, мензурка, секундомер, барометр, термометр.

Теоретическое введение

В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса). Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета будем выбирать так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса.

1) Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е. иными словами, выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье

(1)

где j_E– плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х;

–коэффициент теплопроводности;

–градиент температуры, равный скорсти изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке.

Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знаки j_E и противоположны).

Коэффициент теплопроводности численно равен плотности теплового потока при градиенте температуры, равным единице.

Можно доказать, что

,(2)

где С_V –удельная теплоемкость газа при постоянном обьеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1кг газа на 1К при постоянном обьеме);

- плотность газа;

- средняя скорость теплового движения молекул;

- средняя длина свободного пробега.

2) Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диффузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия должна происходит очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим веществом, то запах распростроняется довольно медленно. Однако противоречий здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном “стоят” на месте.

Явлении диффузии для химически однородного газа подчиняется заккону Фика:

,(3)

где j_m – плотность потока массы – величины, определяемой массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х ;

D–диффузия (коэффициент диффузии);

–градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке.

Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки j_mипротивоположны). ДиффузияDчисленно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов:

(4)

3) Внутреннее трение (вязкость). Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее – увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося медленнее.

Согласно формуле, сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:

(5)

где - динамическая вязкость (коэффициент вязкости);

d/dx– градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направленииx, перпендикулярном направлению движения слоев;

S – площадь, на которую действует силаF.

Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (5) можно представить в виде

(6)

где j_p– плотность потока импульса – величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х;

- градиент скорости.

Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки j_pиd/dxпротивоположны).

Динамическая вязкость численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле

(7)

Из сопоставления формул (1), (3) и (6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математических выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.

Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов D и . Выражения для коэффициентов переноса выводятся из кинетической теории. Они записаны без вывода, так как строгое рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное – не имеет смысла. Формулы (2), (4) и (7) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости между,Dи

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы.

Длина свободного пробега молеуклы – это путь, пройденный молекулой между двумя последовательными соударениями. При неизменных условиях эти пути могут отличаться друг от друга. Поэтому рассматривают некоторую среднюю статистическую величину – среднюю длину свободного пробега (<>).

Выведем расчетные формулы для определения средней длины свободного пробега <> и эффективного диаметра молекул воздухаd.

В соответствии с молекулярно-кинетической теорией, коэффициент внутреннего трения численно равен импульсу упорядоченного движения, переносимого за единицу времени через единицу площади соприкасающихся слоев при градиенте скорости, равном единице, и связан со средней длиной свободного пробега молекулформулой:

отсюда следует, что

(8)

где

(9)

где - средняя арифметическая скорость движения молекул газа;

- плотность газа.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона выразим плотность

(10)

С учетом формулы (9) и (10), формула (8) примет вид

, (11)

где - коэффициент внутреннего трения воздуха;

Р – атмосферное давление;

R– универсальная газовая постоянная;

Т – температура воздуха;

- молекулярная масса воздуха.

Средняя длина свободного пробега <> и эффективный диаметр воздухаdсвязаны формулой

, (12)

где n– концентрация молекул, т.е. число молекул в единице объеме газа.

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

P=nkT, определимn

n=P/kT (13)

Тогда, учитывая формулу (13), преобразуем формулу (11):

, (14)

гдеd- эффективный диаметр молекул;

Т – температура воздуха;

Р- атмосферное давление;

<> - длина свободного пробега молекул.

Порядок выполнения работы:

1. открывают кран С воронки при закрытом кране В и наполняют баллон Dводой на 2/3 объема. Затем перекрывают кран С;

2. открывают кран В так, чтобы вода вытекала сериями капель. Подставляют под кран мензурку, одновременно включают секундомер и измеряют разность уровней жидкости в коленах манометра h₁;

3. останавливают секундомер, когда в мензурке будет 300:500 см³воды; записывают разность уровней жидкости в манометреh₂и показания секундомера;

4. по формуле вычисляют коэффициент внутреннего трения воздуха, где– постоянная установки, численное значение которой указано на приборе;

5. измерения повторяют не более трех раз. Границы доверительного интервала для истинного значения и относительную погрешностьвычисляют по формулам:

6. результаты измерений и вычислений записывают в таблицу 1.

Таблица 1

	С		h1	h2	V		<>-i	(<>-i)2
1 2 3
Ср.

7. доверительный интервал для коэффецента внутреннего трения записывают в виде

8. по формулам

;,

вычисляют среднюю длину свободного пробега <> и эффективного диаметраdмолекул воздуха при давлении Р и температуре Т. Давление и температуру измеряют соответственно с помощью барометра и термометра;

9. используя формулы для определения <> иd, выводят формулы и вычисляют абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления <d> и <> по формулам

10. результаты измерений и вычислений записывают в таблицу 2

Таблица 2

		Т					d
1 2 3
Ср.

11. доверительный интервал для определения средней длины свободного пробега <> и эффективного диаметраdмолекул записывают в виде:

Примечание: =

Техника безопасности:

Во избежание травм осколками при работе со стеклянными колбами необходимо соблюдать осторожность.