- •1, Скалярное поле
- •2, Векторные линии[править | править вики-текст]
- •8, Магнитное поле прямолинейного и кругового токов
- •2.3.1. Магнитное поле прямолинейного тока
- •16. Закон Гаусса (Теорема Гаусса) — Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объеме V, который окружает поверхность s
- •17. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).
- •22 Потенциальная энергия заряда в поле другого заряда
- •23.Потенциал. Потенциал поля точечного заряда.
- •Потенциал поля точечного заряда
- •24. Потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов. Принцип суперпозиции для потенциалов. Принцип суперпозиции для потенциалов
- •25. Разность потенциалов. Эквипотенциальные поверхности
- •26. Связь между вектором напряженности и потенциалом.
- •30. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации.
- •32 Теорема Гаусса о потоке электрической индукции.
- •33)Понятие о диэлектрической проницаемости
- •34)Условия на границе раздела диэлектриков.
- •35)Равновесие зарядов на проводниках. Поле вблизи поверхности заряженного проводника
- •37)Электроемкость уединенного проводника.
- •39. Энергия заряженного проводника — Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды , одинаковы и равны потенциалу проводника.
- •Энергия заряженного конденсатора
- •43)Зако́н электромагни́тной инду́кции Фараде́я
- •44) Система уравнений Максвелла и электромагнитные волны в вакууме
- •45)Акустичесоке поле
26. Связь между вектором напряженности и потенциалом.
Связь между напряженностью и потенциалом |
|
Итак, электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины φ. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее: Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l (Рис. 3.1) в электростатическом поле . Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке dl, можно найти так:
где El – проекция на ; dl– произвольное направление перемещения заряда. С другой стороны, как мы показали, эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl: , отсюда
Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат:
По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, то есть
– вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции. Тогда коротко связь между и φ записывается так:
или так:
где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона. Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля. |
27. Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля.
Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.
Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.
Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.
Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории (рис. 3.5.). Заряд из точки 1 перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L2. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила:
.
Работа этой силы на замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю:
.
Это уравнение, упростив, запишем так:
. (3.18)
Рис. 3.5.
Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение — элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении (рис. 3.6.):
, (3.19)
здесь q = 1 — единичный заряд.
Рис. 3.6.
При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать (3.19) по замкнутому контуру L:
. (3.20)
Интеграл по замкнутому контуру = называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости — это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда.
Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю:
.
Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
28. Понятие ротора векторной функции. Условие потенциальности электростатического поля в дифференциальной форме
По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётсяуравнением
где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат —потенциал деформации элемента среды.
Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения(вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливоравенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле,являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равенудвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.
Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушариидля антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона,вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковойскоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).
Дифференциальная формулировка потенциальности поля.
Если воспользоваться формулой Стокса
, то из (6.4) следует дифференциальная формулировка потенциальности поля:
(6.5)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
. (6.6)
Тогда сопоставляя (6.6) и (6.5) можно записать:
, (6.7)
где - некоторая скалярная функция, которая называется потенциалом. Знак «-» выбран для того, чтобы вектор напряженности Е был направлен в сторону убывания . Скалярная функция называется скалярным потенциалом электрического поля.
Если напряженность поля можно измерить экспериментально, то потенциал не имеет определенного числового значения и бессмысленно говорить об экспериментальном определении его значения. Потенциал определен с точностью до некоторого постоянного значения.
Для того, чтобы не было неоднозначности, используют процедуру нормировки потенциала. При решении пространственных задач за ноль принимают потенциал бесконечно удаленной точки. А при решении задач, связанных с изучением электрических полей вблизи поверхности Земли, за ноль принимают потенциал Земли.
29. Проводники и диэлектрики. Полярные и неполярные молекулы.
Проводник - это тело, внутри которого содержится достаточное количество свободных электрических зарядов, способных перемещаться под действием электрического поля. В проводниках возможно возникновение электрического тока под действием приложенного электрического поля. Все металлы, растворы солей и кислот, влажная почва, тела людей и животных - хорошие проводники электрических зарядов.
___
Изолятор ( или диэлектрик ) - тело не содержащее внутри свободные электрические заряды. В изоляторах электрический ток невозможен. К диэлектрикам можно отнести - стекло, пластик, резину, картон, воздух. тела изготовленные из диэлектриков называют изоляторами. Абсолютно непроводящая жидкость – дистиллированная, т.е. очищенная вода, (любая другая вода (водопроводная или морская) содержит какое-то количество примесей и является проводником)
Неполярные диэлектрики (нейтральные) — состоят из неполярных молекул, у которых центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают. Следовательно неполярные молекулы не обладают электрическим моментом и их электрический момент p = q • l = 0. Примером практически неполярных диэлектриков, применяемых в качестве электроизоляционных материалов, являются углеводороды, нефтяные электроизоляционные масла, полиэтилен, полистирол и др.
Полярные диэлектрики (дипольные) — состоят из полярных молекул, обладающих электрическим моментом. В таких молекулах из-за их асимметричного строения центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают. При замещении в неполярных полимерах некоторой части водородных атомов другими атомами или не углеводородными радикалами получаются полярные вещества. При определении полярности вещества по химической формуле следует учитывать пространственное строение молекул. К полярным диэлектрикам относятся феноло-формальдегидные и эпоксидные смолы, кремнийорганические соединения, хлорированные углеводороды и др. Примеры молекул неполярных и полярных веществ показаны на рис. 1.3.