Выражение, стоящее в правой части равенства (11.14) и является проекцией вектора gradu на вектор λ.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u(x, y, z) в какойлибо точке. В фи-

зике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент направлен перпендикулярно поверхности (линии) уровня функции.

Экстремум функции двух переменных

Точка M0 (x0 , y0 ) называется точкой локального максимума (миниму-

ма) функции z f (x, y) , если для всех точек M (x, y) , отличных от

M0 (x0 , y0 ) и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.

Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экс-

тремума функции.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума).

Если точка M0 (x0 , y0 ) является точкой экстремума функции

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными или критическими. Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Для того чтобы сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных, введем следующие обозначения:

Теорема 2 (достаточные условия экстремума).

Пусть функция z f (x, y) имеет непрерывные частные производные

до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку M0 (x0 , y0 ) . Тогда:

1) если 0 , то точка M0 (x0 , y0 ) является точкой экстремума для данной функции, причем M0 будет точкой максимума при A 0 C 0 и

11

точкой минимума при A 0 C 0 ;

2)если 0 , то в точке M0 (x0 , y0 ) экстремума нет;

3)если 0 , то экстремум может быть, а может и не быть. Отметим, что случай 3 требует дополнительных исследований.

Экстремум функции z f (x, y) найденный при условии (x, y) 0, называется условным. Уравнение (x, y) 0 называется уравнением связи.

Умножим равенство (11.16) на число и сложим с равенством (11.15), получим:

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений представляет собой необходимое условие условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

12

Функция F(x, y, ) f (x, y) (x, y) называется функцией Лагран-

жа. Система (11.17) представляет собой необходимое условие существования экстремума функции Лагранжа.

Метод наименьших квадратов

На практике часто требуется представить наблюдаемые (измеренные) данные в виде функциональной зависимости. При этом предполагается, что вид функциональной зависимости известен (например, в результате ранее проведенных исследований), и требуется определить только параметры этой зависимости.

Пусть в ходе исследования получена следующая таблица, где x - аргумент , а y - функция

Требуется по этим табличным данным получить функциональную зависимость вида y ax b .

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров a и b из условия минимума суммы квадратов отклонений:

13

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

271-280. Дана функция z f (x, y) . Найти: 1) полный дифференциал

dz ; 2) частные производные второго порядка 2 z , 2 z ; 3) убедиться в

x2 y2

280. z ln xy x3 y3.

281-290. Дана функция z f (x, y) и две точки А( x0; y0 ) и В( x1; y1).

1)Найти приближённое значение данной функции в точке В, исходя из её точного значения в точке А и заменяя приращение z дифференциалом dz .

2)Составить уравнение касательной плоскости к поверхности z f (x, y) в

точке С( x0; y0; z0 ).

14

15

321-330. Экспериментально получены пять значений искомой функции y f (x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Мето-

дом наименьших квадратов найти функцию y f (x) в виде y ax b .

16