3.2. Метрологический синтез

Под метрологическим синтезом понимается построение структурной схемы СИ, удовлетворяющей заданным критериям (показателям), то есть синтез представляет собой задачу многокритериальной оптимизации. Как правило, используются следующие группы критериев: функциональные критерии, к которым относятся точность измерений, диапазон, производительность (число измерений в единицу времени), универсальность (число измеряемых величин) и т.п.; техникоэкономические, к которым относятся стоимость, эксплуатационные расходы, надежность, долговечность и т.п.; эргономические критерии, отражающие удобство для пользователя, например, безопасность, удобство эксплуатации, простота эксплуатации и обслуживания, дизайн и т.д.. В ряде случаев применяются

Здесь K(S) – общий критерий, характеризующий систему (структуру S), получаемый сверткой частных критериев K j :

K (S ) = F (K j (TS , N )),

где F – операция свертки (агрегирования) по критериям K j .

Часто задачу оптимизации заменяют задачей обеспечения, когда значения критериев не должны быть меньше некоторых допустимых значений:

допустимых систем.

В общем виде задача многокритериальной оптимизации вида (3.2.1) не поддается конструктивной формализации, декомпозиции, и однозначному решению, поэтому используют различные упрощения.

Одним из распространенных подходов является применение эвристического метода. Он состоит в том, что лицо принимающее решение (ЛПР), например, проектировщик, на основе информации о предметной области формирует исходное множество допустимых решений (допустимых структур СИ). На втором этапе методом перебора строится множество Пареторешений (эффективных решений), каждое из которых имеет максимальное возможное значение хотя бы одного критерия. На этом этапе исследуются предельные возможности различных типов схем по заданным критериям. Затем из множества эффективных решений определяется наилучшее возможное решение, являющееся субоптимальным. Построение множества Парето и выбор субоптимального решения осуществляется ЛПР непосредственно или в режиме интерактивного диалога с ЭВМ. Обычно субоптимальных решений оказывается несколько, поэтому для получения однозначного решения используют дополнительные условия, например, минимизация стоимости, максимизация надежности и т.п. Многокритериальную задачу можно упростить, если её условия позволяют определить главный критерий. Для СИ в качестве главного критерия часто используется какая-то характеристика точности измерений. В этом случае задача синтеза становится однокритериальной при дополнительных ограничениях по другим критериям; ее решение может быть получено известными методами, например, методом множителей Лагранжа. Для сведения многокритериальной задачи к однокритериальной кроме метода главного критерия используются также метод свертки, метод пороговых критериев, метод расстояния [41]. После того как решена задача структурного синтеза, решается задача параметрического синтеза, то есть выбора параметров элементов схемы, структура которой фиксирована. При этом считаются известными также условия эксплуатации и технология изготовления. Рассмотрим постановку задачи параметрического синтеза для нескольких характерных случаев.

Минимизация стоимости СИ. Обозначим

элемент характеризуется одним точностным параметром. Будем также считать, что номинальные значения определены, тогда используя аддитивную свертку, наилучшее решение можно записать в виде решения, минимизирующего среднюю взвешенную стоимость СИ:

номинальных значений и допусков соответственно. В более общем случае решение записывается в виде:

j Dj y0 j Yj

где F – функция (функционал) усреднения по индексу i , зависящая от структурной схемы и условий задачи.

Как правило вводится дополнительное условие по надежности, чтобы решение было однозначным и приемлемым:

где Pt – вероятность безотказной работы в течение времени t ; Pдоп – допустимое значение вероятности безотказной работы; y0* – вектор

номинальных значений параметров для оптимального решения.

Максимизация надежности СИ. Вторая альтернативная постановка задачи связана с максимизацией надежности при

при условии с(y0* , * )≤ cдоп , где cдоп – допустимое значение стоимости СИ; F – функция (функционал), определяемая типом структурной схемы.

Решение задач (3.2.2.), (3.2.4.) может быть получено численными методами в режиме интерактивного диалога с ЭВМ [6, 10, 41], при этом ЛПР задает желаемые значения запаса по стоимости (надежности) по каждому параметру, исходя из некоторого приближения, а затем корректирует значения параметров по результатам расчета на ЭВМ. Для типовых схем, рассмотренных в §3.1, задача оптимизации по одному функциональному критерию, например по критерию точности, может быть решена в явном виде. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть требуется минимизировать погрешность преобразования yпр . В качестве критерия можно использовать

среднее значение модуля ошибки или средний квадрат ошибки. В последнем случае критерий оптимизации имеет вид:

xmin

Минимизация выражения (3.2.6) позволяет найти значения параметров αi , соответствующие предельному значению

погрешности преобразования.

Пример 2. Пусть требуется минимизировать дисперсию случайной погрешности измерений для СИ данного типа. Решение этой задачи зависит от структурной схемы СИ.

Последовательная схема. Воспользуемся выражением (3.1.7) для дисперсии погрешности:

где S0 – заданная чувствительность схемы.

Из (3.2.7) следует, что уменьшить дисперсию погрешности измерений можно за счет уменьшения дисперсии входного сигнала и чувствительности схемы. Наибольший вклад в изменение дисперсии погрешности вносят элементы с малой чувствительностью. При минимизации дисперсии относительной погрешности сигнала на выходе используем выражение (3.1.12) в линейном приближении:

i=1

зависящий от параметров схемы (a=1, если fi – постоянные величины) f0 – заданная функция преобразования.

Из соотношения (3.2.8) следует, что уменьшить дисперсию можно, уменьшая дисперсию погрешности преобразования отдельных элементов и сокращая число элементов схемы.

Параллельная схема. Из выражения (3.1.13) имеем для дисперсии погрешности:

Из (3.2.9) следует, что наибольший вклад в изменение дисперсии вносят элементы с большой чувствительностью.

При минимизации дисперсии относительной погрешности из (3.1.20) в линейном приближении имеем:

f1 = f2 =K= fk и соответственно D[δ fi ]= const (i), т.е. при одинаковой

Таким образом, в параллельной схеме составляющая дисперсии относительной погрешности за счет погрешности преобразования отдельных элементов уменьшается в k раз. Не следует забывать, однако, что при этом может увеличиваться дисперсия абсолютной погрешности, обусловленная погрешностью входного сигнала.

Аналогично можно рассмотреть и другие типы схем. Так для

схемы с обратной связью имеем из (3.1.26):

Результат для этого случая аналогичен параллельной схеме, т.е. уменьшением чувствительности прямой и обратной ветви, а также дисперсии погрешности входного сигнала можно уменьшить дисперсию абсолютной погрешности измерения.

При минимизации дисперсии относительной погрешности выходного сигнала для схемы с обратной связью из соотношения

получим результат, аналогичный случаю параллельной схемы с двумя элементами. В частности, условие минимума дисперсии имеет вид

справедливо равенство D[δ f1 ]= D[δ f2 ], как для параллельной схемы при k=2. При положительной обратной связи условие минимума может быть обеспечено лишь при D1 = D2 = 0 .

В ряде случаев необходимо иметь информацию о вероятностных характеристиках погрешности, в качестве которых используются доверительный интервал и доверительная вероятность. Выберем за критерий оптимизации доверительный интервал, в который с заданной вероятностью попадает значение погрешности

−α 0

где p(δ )- плотность вероятности распределения погрешности; причем математическое ожидание погрешности равно нулю.

Последовательная схема. Предположим, что погрешности элементов схемы δ fi независимы и одинаково распределены.

Рассмотрим два практически важных случая: нормальное и равномерное распределение погрешностей δ fi для элементов

схемы.

Нормальное распределение. Так как относительная погрешность выходного сигнала δ y равна сумме погрешностей элементов схемы (см. соотношение (3.1.9)), то из центральной предельной теоремы следует, что δ y имеет также нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией, определяемыми по (3.1.11) и (3.1.12) соответственно. Тогда вероятность попадания погрешности δ y в заданный интервал при

Вероятность попадания δ y в заданный интервал рассчитывается аналогично случаю нормального распределения из соотношения (3.2.15). Для произвольного k плотность нормированного распределения суммы k равномерно распределенных величин имеет вид

где 0<x<k, а суммирование продолжается до тех пор, пока аргументы x, x −1, x −2, …K остаются положительными. Вероятность попадания δ y в заданный интервал, например [0, α] рассчитывается при малых k непосредственно

случаю последовательной схемы с тем различием, что мы имеем взвешенную сумму независимых случайных величин. Положим

для простоты M [δ fi ]= const (i), D[δ fi ]= const (i),

Используя соотношения (3.1.19, 3.1.20), найдем, что вероятность

отдельного элемента схемы. Вероятность попадания погрешности для схемы из 10 элементов в тот же доверительный интервал, что

отдельного элемента она равна 0,48. При небольшом числе элементов, например, при k=2: P(t = 2 2 )= 0,997 − 0,5 = 0,497 .

Таким образом, для параллельной схемы обеспечивается более высокая статистическая надежность результата измерения, чем для отдельного элемента, при той же точности функционирования. Отметим, что этот вывод получен при учете

влияния только погрешностей функций преобразования отдельных элементов, распределенных по нормальному закону.

Схема с обратной связью. Результаты для нее аналогичны параллельной схеме при k=2.

Выведем соотношения между доверительным интервалом и вероятностью для равномерного распределения при k=2 и k=3. При k=2 сумма двух равномерно распределенных величин, каждая из которых распределена симметрично в интервале [−α,α], имеет треугольное распределение с функцией плотности:

Центр распределения помещен в нуле, а интервал изменения переменной x : [− 2α , 2α]. Вероятность попадания погрешности в интервал [− , ] определяется из соотношения:

мы рассматриваем симметричное распределение относительно нуля.

Если центр распределения поместить в произвольной точке c,

равномерного распределения в интервале [−α,α] дисперсия равна:

D[δ y]=α2 / 3.

Для треугольного распределения вероятность попадания δ y в интервал [−α,α] равна по (3.2.22): P{δ y [−α , α]} = 75% ,

в то же время для равномерного распределения P{δ y [−α, α]}=1. Проведем аналогичное рассмотрение для k=3 (схема с тремя

элементами) при равномерном распределении погрешностей для отдельных элементов. Будем, как и выше, считать что интервал изменения погрешности для отдельного элемента [−α,α], т.е. одинаков для всех элементов. В этом случае плотность распределения квадратично зависит от случайной величины, поэтому будем называть это распределение в дальнейшем квадратичным полиномиальным (треугольное распределение является в этом смысле линейным полиномиальным). Плотность распределения состоит из трех полиномов. Применяя условия непрерывности плотности и ее первой производной, а также условие нормировки, после вычислений получаем выражение функции плотности суммы трех величин, равномерно распределенных в интервале [−α,α] в виде:

где x – произвольная случайная величина, c – центр распределения; [−3α ,3α] – интервал изменения величины x.

Вероятность попадания погрешности в интервале [− , ]

После довольно громоздких расчетов для вероятности получается следующее выражение:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины для этого распределения равны соответственно: M [δy]= c; D[δy]= α2 ,

вчем легко убедиться непосредственным вычислением.

Вероятность попадания δ y в интервал [−α,α] из (3.2.26) равна:

применение полученных соотношений.

Пример 1. Предположим, что реальное распределение погрешности является квадратичным полиномиальным с функцией плотности, задаваемой соотношением (3.2.23). Определим ошибку неадекватности модели для двух случаев: а) при аппроксимации треугольным распределением; б) при аппроксимации равномерным распределением. При аппроксимации треугольным распределением дисперсия

аппроксимации равномерным распределением дисперсия равна:

Для квадратичного полиномиального (реального) распределения:

P3 {δy [− D[δy], D[δy]]}= P3 {δy [−α,α]}= 67% (см. выше).

Таким образом, систематическая ошибка неадекватности модели для вероятности составляет –2% при замене реального распределения треугольным и –9% при использовании равномерного распределения (для доверительного интервала

− D[δ y], D[δ y] ).

Пример 2. Рассмотрим, как сказывается тип схемы на значении доверительной вероятности при k=2 и k=3 в случае равномерного распределения погрешностей для отдельных

пределы изменения погрешности [−α,α] т.е. является

полиномиального (схема из 3-х элементов) P3 {δy3 [− 2α ,2α]}= 96% .

Часто интерес представляет обратная задача, а именно, какой доверительный интервал соответствует заданной вероятности. Предположим, что задана доверительная вероятность Р=96%. Тогда для схемы с тремя элементами (k=3) интервал составляет (см. выше) = 2α , т.е. 66,7% предельного интервала изменения

элемента: = 0,96α , т.е. 96% предельного интервала [−α,α]. Отсюда следует, что агрегирование элементов в схему позволяет обеспечить запас надежности при относительно более низкой точности функционирования (этот результат справедлив для равномерного распределения погрешностей).

Параллельная схема. В этом случае, как показано в §3.1, дисперсия уменьшается и равна при k=2: D2 [δy2 ]= D1 [δy1 ]2 ; при

k=3: D3 [δy3 ]= D1 [δy1 ]3 . Определим те же величины, что и для

последовательной схемы. При k=2 (треугольное распределение) и k=3 (квадратичное полиномиальное распределение) получим для

же результаты, что и для последовательной схемы. При расчетах по (3.2.22), (3.2.26) учтено, что в данном случае изменилась не только дисперсия, но и интервал, а именно, при k=2: α2 = α2 ; при

k=3: α3 = α3 , где [−α,α] – интервал изменения погрешности для

единичного элемента схемы при равномерном распределении. Объясняется это тем, что из соотношения (3.1.18) погрешность δ y для параллельной схемы равна взвешенной сумме погрешностей отдельных элементов. При равенстве погрешностей вес равен 1/k, т.е. статистически дело обстоит так, как если бы суммировались величины, равномерно распределенные в интервале [−αk,αk] с

дисперсией α2 3k . Фактически погрешность схемы равна погрешности отдельного элемента (см. соотношение (3.1.18)), т.е. изменяется в интервале [−α,α]. Вероятность попадания в удвоенный интервал равна:

предельного, т.е. результаты аналогичны последовательной схеме.

Следует отметить, что в параллельной схеме при той же доверительной вероятности, доверительные интервалы оказываются гораздо меньшими, что свидетельствует о большей точности функционирования.

Таким образом, взаимосвязь доверительного интервала и доверительной погрешности зависит от типа схемы и вида закона распределения ошибок для элементов схемы.

Пример 3. Рассмотрим связь между доверительным интервалом и вероятностью при больших и малых k для равномерного распределения погрешностей. В этом случае

дисперсия дается выражением D[δ y]= k3 α2 , где [−α,α] – интервал

изменения погрешности δ y1 отдельного элемента схемы. Математическое ожидание M [δy]= c . Связь между вероятностью и доверительным интервалом при больших k определяется соотношением (3.2.15) с функцией плотности

погрешности для схемы из 10 элементов в доверительный

удвоенного интервала: P (t = 2 10 )− P0 = 0, 73 −0,5 = 0, 23 = 23% .

Параллельная схема. Вероятность попадания погрешности для схемы из 10 элементов в доверительный интервал, определяемый

P2 [δ y3 ]=1.

Таким образом, параллельная схема обеспечивает более высокую достоверность (надежность) результата измерения, которая возрастает с увеличением числа элементов в схеме. Для последовательной схемы наблюдается обратная закономерность, а именно, увеличение числа элементов в схеме снижает достоверность результата измерения. Из полученных результатов следует, что в параллельной схеме нет смысла объединять большое число элементов, так как уже при k =2…3 обеспечивается достаточный уровень надежности. Для последовательной же схемы снижение надежности с увеличением числа элементов не носит катастрофического характера