3. Определение переходной функции системы

Пусть передаточная функция системы представима в виде отношения двух многочленов:

где – B(p)=b0pm+…+bm; A(p)=a0pn+…+an,причем m<n.

Передаточная функция связана с переходной функцией преобразованием Лапласа:

Тогда переходная функция системы находится с помощью обратного преобразования Лапласа:

Для вычисления обратного преобразования Лапласа сначала находятся корни pk характеристического уравнения A(p)=0: непосредственно (при n≤4) или численными методами (при

n>4). Если все корни простые, то есть А(р)=a0(р−р1) (р−р2) … (р−рn), то имеет место соотношение:

L−1 определяется выражением (формула Хевисайда):

Вместо формулы Хевисайда можно использовать разложение, применяемое при решении дифференциальных уравнений. Если А(р) и В(р) не имеют совпадающих корней, то каждому действительному корню рk уравнения А(р)=0 отвечает lk простых дробей вида:

k

где lk – кратность корня рk. Каждой паре комплексносопряженных корней рk =α+iβ отвечает lk простых дробей вида:

где lk – кратность корней рk=α+iβ.

Тогда L−1[W ( p)] находится как сумма обратных преобразований

Лапласа таких слагаемых. В частности,

Вопросы этого раздела рассмотрены, например, в [20, 45].

4. Типы распределений, используемых при оценке надежности СИ

Распределение Вейбулла. Оно является непрерывным. Плотность распределения задается выражением:

где х – случайная величина; x>a, b>0, c>0, a – параметр сдвига, b

– параметр масштаба, с – параметр формы. При испытаниях на долговечность параметр а обозначает длительность начального периода, в течение которого происходят отказы. Интенсивность отказов и плотность распределения Вейбулла принимают различные формы при разных с. В частности, при с>1 распределение одновершинное, и интенсивность отказов возрастает с течением времени. При с<1 распределение имеет вид

кривой убывающей функции, и интенсивность отказов с течением времени уменьшается. При с=1 интенсивность отказов постоянна, и распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным(см. ниже). В этом случае параметр масштаба b=1/λ, где λ – параметр экспоненциального распределения. Распределение Вейбулла часто используется в качестве модели для времени безотказной работы на основе экспериментальных данных. Вероятность отказа за время t определяется выражением:

t

P0(t) =∫a f (x;a,b,c)dx =1−exp{−((t −a)/b)c}. (4.2)

Математическое ожидание для этого распределения равно:

Отрицательное экспоненциальное распределение. Оно также является непрерывным. Плотность экспоненциального распределения равна:

где λ имеет смысл интенсивности отказов. Иногда употребляется другой параметр b=1/λ. Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения при с=1. В теории надежности это распределение является статистической моделью времени безотказной работы для системы с большим числом последовательно соединенных элементов. Вероятность отказа системы за время t дается выражением:

Для этого распределения характерна резко выраженная правосторонняя (положительная) асимметрия, кроме того, математическое ожидание равно среднеквадратичному отклонению. Математическое ожидание определяется выражением:

Биномиальное и отрицательное биномиальное распределение. Эти распределения являются дискретными. Предположим, что проводится серия независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода: успех или неудача. Обозначим вероятность успеха р, а вероятность неудачи q=1–р. Предполагается, что р одинаково в каждом испытании. Например, при контроле СИ р – вероятность, что СИ будет годным, а q – что негодным. Тогда вероятность того, что в последовательности из n испытаний успехи осуществляются в точности k раз, дается выражением:

Функция (4.8), определенная при k=0,1,…,n, задает биномиальное распределение с параметрами n и p. Это очень важное дискретное распределение, широко используемое при статистическом контроле качества продукции, при описании систем массового обслуживания и т.п. Биномиальное распределение симметрично при р=0,5; при р<0,5 – более пологое справа; при р>0,5 распределение более пологое слева. При расчетах вероятностей удобно рекуррентная формула:

Математическое ожидание для этого распределения равно E[x=k]=np; а дисперсия D[x=k]=npq, т.е. дисперсия меньше среднего. Отрицательное биномиальное распределение получило свое название в связи с тем, что формула распределения вероятностей для него определяется разложением бинома с отрицательной степенью. В этом распределении число испытаний является случайной величиной, и число успехов k становится параметром. Распределение позволяет определить вероятность числа неудач r до k-го успеха, которая равна члену

биномиального разложения выражения pk(1–q)-k, включающему qr, а именно:

Гамма-распределение. Это распределение является непрерывным и используется для описания случайных величин, ограниченных с одной стороны. Его плотность имеет вид

где а – параметр сдвига, b – параметр масштаба, с – параметр формы, Г(с) – известная гамма-функция. Если с – положительное целое число, то Г(с)=(с-1)!. Обычно полагают при расчетах а=0, а вместо b используют другой параметр λ=b ¹. При изменении параметра λ форма распределения не меняется, а меняется только масштаб. В частности, при с<1 плотность распределения имеет вид убывающей функции, а при с>1 представляет собой одновершинную кривую с максимумом в точке х=(с-1)/λ. Гаммараспределение описывает время, необходимое для появления ровно c независимых событий (например, отказов), если они происходят с постоянной интенсивностью. Гамма-распределение играет важную роль в теории массового обслуживания, где рассматриваются задачи, связанные с ожиданием в очереди. Если, например, заявки на контроль и ремонт СИ поступают с постоянной интенсивностью (λ единиц в месяц) независимо друг от друга, а контроль и ремонт СИ производится партиями объемом c, то время, за которое будут проверены все приборы является случайной величиной, подчиняющейся гаммараспределению. Его широкое использование объясняется тем, что гамма-распределение принимает самые разнообразные формы. Частными случаями этого распределения являются распределения: Эрланга, когда параметр с – натуральное число; "хи-квадрат", когда параметр λ=0,5 и с кратно 0,5; экспоненциальное, когда параметр с=1. Часто гаммараспределение используется в альтернативной форме:

где p – параметр формы и введена новая переменная y=(x–a)/b. Математическое ожидание в этом случае равно: M[y]=p; дисперсия равна математическому ожиданию, т.е. D[y]=p.

Вопросы, изложенные в данном разделе, рассмотрены,

например, в [22, 35, 45].