2. Корреляционные функции и спектральные плотности

Пусть на входе измерительной системы действует случайный процесс {x(t)}, а на входе получается процесс {y(t)}, которые являются стационарными и представимы своими реализациями х(t) и у(t). Корреляцию между ними можно определить, если ввести дополнительную переменную τ – запаздывание у(t) относительно х(t). По аналогии со статическим случаем определим корреляционную функцию х(t) и у(t) для произвольного сдвига времени τ выражением:

где Rxy(τ) – взаимная ковариационная функция х(t) и у(t), а μx, μy – соответствующие средние.

Rxy (τ) =Tlim→∞T1 T∫x(t)y(t +τ)dt .

0

(2.2)

В частности, если процессы на входе и выходе одинаковы, т.е. {y(t)}={x(t)}, то выражение (2.1) принимает вид:

Rxy(τ)=Сxy(τ), если средние обоих процессов равны нулю, т.е. процессы центрированы. По определению ковариационная функция является четной, т.е. Rxх(–τ)=Rxх(τ). Взаимная ковариационная функция не обладает этим свойством, но

удовлетворяет соотношению: Rxy(–τ)=Ryх(τ).

Из соотношений (2.3), (2.4) следует, что значение ковариационной функции в нуле равно квадрату процесса:

Спектральные плотности. Спектральную плотность можно определить как преобразование Фурье ковариационной функции, посредством обобщенного преобразования Фурье или посредством аналоговой фильтрации.

Rxy(τ)

τ

0

Рис.2. Типичная взаимная ковариационная функция.

Определение спектральной плотности через ковариационную функцию. Пусть имеется две реализации х(t) и

В общем случае процессы x(t) и y(t) различны, и Sxy называется взаимной спектральной плотностью или взаимным спектром x(t) и y(t). В частном случае, когда {y(t)} ={х(t)} имеем:

где Sxх(f) – спектральная плотность или спектр х(t). В теории cвязи ее часто называют спектральной плотностью мощности, автоспектральной плотностью или автоспектром.

Спектральные плотности, задаваемые выражениями (2.8) и (2.9) определены для всех частот, как положительных, так и отрицательных, поэтому их называют двусторонними спектрами. Из свойств симметрии ковариационных функций следует, что

Двусторонние плотности удобны для аналитического изучения, но практически удобнее иметь дело со спектрами, определенными только для неотрицательных частот. Такие плотности (или спектры) называются односторонними и задаются соотношениями:

Связь между одно- и двусторонними спектрами представлена на рис. 3.

1

2

Рис.3. Односторонняя (1) и двусторонняя (2) спектральные плотности

Так как ковариационные функции являются четными функциями τ, то, очевидно, спектры задаются только действительной частью преобразования Фурье (2.9). Следовательно:

называется коспектральной плотностью или коспектром, а мнимая часть

называется квадратурной спектральной плотностью или квадратурным спектром. Через Сxy(f) и Qxy(f) соотношение (2.19) записывается следующим образом:

Отметим, что зная Cxy(f) можно найти Rxy(0). Удобно выражать взаимные спектры через модуль и фазовый угол

График типичной взаимной спектральной плотности приведен на рис.5.

Рис.5. Типичная взаимная спектральная плотность: а – модуль, б – фаза

Знаки Сxy(f) и Qxy(f) могут быть положительными и отрицательными и определяют квадрант, в котором находится фазовый угол θxy(f). Положительное значение θxy(f) соответствует запаздыванию y(t) относительно x(t) на частоте f, а отрицательное значение показывает, что y(t) опережает x(t) на частоте f. Иными словами, эти знаки показывают, следует ли процесс y(t) за x(t), т.е. выполняется ли соотношение y(t)=x(t – τ0) при некотором τ0>0, что соответствует положительному запаздыванию сигнала, передаваемого из точки x в точку у на частоте f. Из равенства y(t)=x(t – τ0) следует, что у(0) вызвано x(– τ0), а у(τ0) вызвано x(0), при условии измерения сигналов в этих точках в одной шкале времени.

Модуль взаимного спектра входит в важное неравенство для взаимных спектров:

которое аналогично неравенству для взаимных ковариационных функций (2.6) и позволяет определить функцию когерентности:

которая аналогична квадрату нормированной корреляционной функции, задаваемой соотношением (2.7).

Определение спектральных плотностей посредством преобразования Фурье. Пусть {x(t)}, {y(t)} – два стационарных эргодических случайных процесса. Финитные преобразования

Фурье k-х реализаций длины Т каждого процесса определяются в виде:

Xk ( f ,T ) = T∫xk (t)e− j 2π ft dt ,

Двусторонняя взаимная спектральная плотность этих двух процессов определяется соотношением:

где Е – математическое ожидание, обозначающее усреднение по индексу k. Односторонние взаимные спектральные и спектральные плотности определяются следующим образом:

соответствующим функциям, определенным по (2.8)–(2.13) как преобразования Фурье. Это утверждение называется теоремой Винера–Хинчина. Все соотношения и свойства для спектральных плотностей, введенные ранее, сохраняются.

Определение спектральных плотностей посредством аналоговой фильтрации. До внедрения цифровых способов обработки сигналов спектральные плотности, в основном, автоспектры оценивались при помощи аналоговых анализаторов. Этот способ используется и в настоящее время. Суть его сводится к следующему. Реализация случайного процесса х(t) проходит через узкополосный фильтр с полосой пропускания f и изменяемой частотой среза f. Выходной сигнал этого фильтра х(f, f, t) возводится в квадрат и усредняется по времени, а затем делится на f; в итоге получается оценка спектральной плотности вида