- •4. Полярная система координат на плоскости.
- •5. Прямоугольные декартовые координаты пространств.
- •9. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •10. Линии второго порядка. Окружность.
- •11.Линии второго порядка.Эллипс
- •12. Линии второго порядка.Гипербола.
- •13 Линии второго порядка. Парабола
- •14 .Основные понятия и определения. Теория матрицы
- •15. Линейные действия над матрицами
- •16.Произведение матриц
- •17.Транспонировние матрицы
- •18. Определители 2-ого и 3-ого порядков.
- •19. Обратная матрица
- •20. Ранг матрицы
- •21. Система линейных уравнений. Основные понятия
- •22.Решение систем линейных уравнений с помощью определителя(теорема Крамера)
- •23. Исследование систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли, базисный минор, базисные и свободные неизвестные)
- •24.Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •25)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
- •31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
- •Вопрос32. Разложение вектора по базису
- •Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.
- •35. Скалярное произведение векторов
- •37.Смешанное произведение 3 векторов.
- •38. Линейная зависимость векторов
- •39.Уравнение поверхности и линии
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •41. Прямая в пространстве (направляющий вектор, каноническое уравнение) .Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •44. Понятие сложной функции. Четные и нечетные функции, переодические функции.Основные элементарные функции.
- •45. Функция натурального аргументы и ее предел.
- •47. Предел функции в точке и на бескон. Определение
- •49. Основныесв-ва пределов функций.
- •50.Замечательные пределы
- •51. Непрерывные ф-ции.Точки разрыва ,их классификация.
29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
Произведением ненулевого вектора на действительное числоназывается вектор, удовлетворяющий условиям:
1) длина вектора равна, т.е.;
2) векторы иколлинеарные;
3) векторы иодинаково направлены, если, и противоположно направлены, если. (рис. 9). Если среди сомножителей есть 0, то под произведениемпонимается нулевой вектор.
Геометрический смысл операции умножения вектора на число следующий: если , то при умножении векторана числовектор«растягивается» враз, а если– «сжимается» враз. На рис. 9 изображен случай.
Утверждение 1. Если векторы иколлинеарны и, то существует единственное число, что.
Свойства линейных операций над векторами
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов ,,и любых действительных чиселсправедливы равенства:
30.Угол между векторами. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
Проведём a и b,, ,ab, . Из точки О отложим .По правилу парал. сложения векторов устанав, что, гдесост вектора , леж на прямыхa и b, соответственно. Предст вектора равенством назразлож вектора на состав, леж на прямых a и b.Заданы прямая и плоскость , причёмне лежит ви не паралл..
Возьмём и отложим его от О. Получим. Пусть точка– проекцияV на в направлении в направлении, то есть.навыбрана так, что
Тогда(1)
или(2),гдеявл сост, леж наи на.Представлениеравенствами(1) или(2) назывразложна составл, леж на и на.Пусть заданы три прямые a, b, c, пересек в O и не леж в одной плоскости.. Разлаживаем по прямa и плосa:
на составляющие Теперь разложим на составляющие , леж наb и c, в a :В итоге имеем, что.где составляющиеv,леж на a, b, c,соответственно.Представление назыв разлож на сост, леж наa, b, c.
Вопрос32. Разложение вектора по базису
Разложить по базису – это значит представить его.Числкоэфx, y, zв правой части равенства – координаты в базисе .Координаты векторов (как и их сост.) обладают след.св-ми (операции слож. векторов и умн. на число): При слож векторов их координаты складываются. Разл. вектора по базисуимеет вид
, где – действ.числа. Тогда сум., и предст. векторс координатами,,в базисе
При умнож.вектора на число его координаты умнож. на это число. - действ. число. Разлож по базису имеет вид. Тогда.Тройка базисных векторов в пространстве наз. Правой (левой), если эти векторы, отлож. от одной точки, распол. так, как распол. большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
Координатами вектора , начало кот. Точка А(), а конец В() в прям. дек. системе координатOxyz наз. числа ,,. Сначала фикс. в прям. дек. сист. координат Охуz точку А(х, у, z). Потом строят точку В(х+, у+, z+). Получаемравн.. Радиусом-вектором – наз. векторс точкой прилож. в нач. координат О, а конец - в А..