- •4. Полярная система координат на плоскости.
- •5. Прямоугольные декартовые координаты пространств.
- •9. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •10. Линии второго порядка. Окружность.
- •11.Линии второго порядка.Эллипс
- •12. Линии второго порядка.Гипербола.
- •13 Линии второго порядка. Парабола
- •14 .Основные понятия и определения. Теория матрицы
- •15. Линейные действия над матрицами
- •16.Произведение матриц
- •17.Транспонировние матрицы
- •18. Определители 2-ого и 3-ого порядков.
- •19. Обратная матрица
- •20. Ранг матрицы
- •21. Система линейных уравнений. Основные понятия
- •22.Решение систем линейных уравнений с помощью определителя(теорема Крамера)
- •23. Исследование систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли, базисный минор, базисные и свободные неизвестные)
- •24.Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •25)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
- •31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
- •Вопрос32. Разложение вектора по базису
- •Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.
- •35. Скалярное произведение векторов
- •37.Смешанное произведение 3 векторов.
- •38. Линейная зависимость векторов
- •39.Уравнение поверхности и линии
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •41. Прямая в пространстве (направляющий вектор, каноническое уравнение) .Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •44. Понятие сложной функции. Четные и нечетные функции, переодические функции.Основные элементарные функции.
- •45. Функция натурального аргументы и ее предел.
- •47. Предел функции в точке и на бескон. Определение
- •49. Основныесв-ва пределов функций.
- •50.Замечательные пределы
- •51. Непрерывные ф-ции.Точки разрыва ,их классификация.
37.Смешанное произведение 3 векторов.
Смешанным произведением 3 векторов называется скалярное произведение векторов,и обозначается.
Смешанное произведение,равноVпараллелепипеда, построенного на этих векторах.
Свойства смешанных произведений.
0, если: хотя бы один=0; 2 из векторов коллинеарные(параллельны); все 3 вектора компланарны (параллельны одной и той же плоскости или лежат в одной плоскости)
Смешанное произведение не изменится, если в нем знак векторного х и скалярного *,поменять местами.(+)*=(
При перестановке 2 векторов, смешанное произведение меняет знак
Из свойств 1-4 и определения смеш.произведения следует, что
(пирамид,построенных на abc) ==
V(пирамиды)=
(М(x,y,z))1,4)
38. Линейная зависимость векторов
Векторы –линейно зависимы, если существуют действительные числа , среди которых есть числа отличные от 0 действительные числа, что выполняют равенство
(1)
Если равенство (1) выполняется при , то векторы –линейно зависимы.
Справедливы утверждения:
Векторы , лин. Зависимы тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из них явл. Линейной комбинацией других.
2 вектора линейно зависимы тогда и только тогда, если они коллинеарные .
Если – 2 коллинеарные вектора в одной плоскости, то любой 3 вектор,этой плоскости можно разложить по ним:a= x* .
3 векторалин.зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Любой можно разложить по 3 некомпланарным векторам:
Всякие 4 вектора пространства зависимы.
39.Уравнение поверхности и линии
Уравнение поверхности фиксированной системы OXYZ, называется такое уравнение F(x,y,z)=0, где F-функция переменных x,y,z,которому удовлетворяет координаты любой точки поверхности и только они.
При составлении уравнения поверхности, придерживаются следующего плана:
В выбранной системе координат OXY берут произвольную точку М, считая, что она принадлежит рассматр. поверхности (эту точку называют текущей, а ее координаты текущими).
Составляем соотношение между текущими координатами, которые определяют данные поля(шар).
Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение 2 поверхностей.
Пусть F(x,y,z)=0 Ф(x,y,z)=0-ур-е поверхности , пересекающейся по данной линии е, тогда координаты любой точки линии е , удовлетворяют системе
Иногда рассматриваем е,для описания траектории движения точки с течением времени t.
Ур-е линии x=x(t)
y=y(t)
z=z(t), где x,y,z-функции времени.
40. Различные виды уравнения плоскости (частные виды уравнения плоскости; Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно нормальному вектору; уравнение плоскости в отрезках; уравнение плоскости, проходящей через три данные точки; Уравнение плоскости, проходящей через две данные точки и параллельные данному вектору; Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двумнеколлинеарным векторам)
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:
Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
M(x0,y0,z0) перпендикулярно данному вектору →n= {A,B,C} .
Решение. Пусть P(x,y,z) — произвольная точка пространства. ТочкаPпринадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор
MP= {x−x0,y−y0,z−z0} ортогонален вектору →n= {A,B,C} (рис.1).
Написав условие ортогональности этих векторов ( → n,MP) = 0 в координатной форме, получим:
A(x−x0) +B(y−y0) +C(z−z0) = 0 (1)
Это и есть искомое уравнение. Вектор → n= {A,B,C} называется нормальным вектором плоскости.
Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую–нибудь точку, принаждежащую плоскости.
Если теперь в уравнении (1) раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0 ,
где D = −Ax0 − By0 − Cz0 .
Уравнение плоскости в отрезках.
Уравнение плоскости вида , гдеa, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках.
Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.
Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида .