- •4. Полярная система координат на плоскости.
- •5. Прямоугольные декартовые координаты пространств.
- •9. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •10. Линии второго порядка. Окружность.
- •11.Линии второго порядка.Эллипс
- •12. Линии второго порядка.Гипербола.
- •13 Линии второго порядка. Парабола
- •14 .Основные понятия и определения. Теория матрицы
- •15. Линейные действия над матрицами
- •16.Произведение матриц
- •17.Транспонировние матрицы
- •18. Определители 2-ого и 3-ого порядков.
- •19. Обратная матрица
- •20. Ранг матрицы
- •21. Система линейных уравнений. Основные понятия
- •22.Решение систем линейных уравнений с помощью определителя(теорема Крамера)
- •23. Исследование систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли, базисный минор, базисные и свободные неизвестные)
- •24.Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •25)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
- •31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
- •Вопрос32. Разложение вектора по базису
- •Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.
- •35. Скалярное произведение векторов
- •37.Смешанное произведение 3 векторов.
- •38. Линейная зависимость векторов
- •39.Уравнение поверхности и линии
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •41. Прямая в пространстве (направляющий вектор, каноническое уравнение) .Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •44. Понятие сложной функции. Четные и нечетные функции, переодические функции.Основные элементарные функции.
- •45. Функция натурального аргументы и ее предел.
- •47. Предел функции в точке и на бескон. Определение
- •49. Основныесв-ва пределов функций.
- •50.Замечательные пределы
- •51. Непрерывные ф-ции.Точки разрыва ,их классификация.
19. Обратная матрица
Матрицей, обратной квадратной матрице А, назыв. квадратная матрица В, удовлетворяющая равенством.
АВ=ВА=Е ( 1) ,где Е- единичная матрица
Из определения следует, что обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы и обе матрицы имеют один и тот же порядок. Обозначение A-1=1/A
Рассмотрим квадратную матицу:
(2)
Матрицей присоединенной к матрице А, называется матрица
(3)
составленная из алгебраических дополнений Аijэлементом аijматрицы( 2). Матрица 3 является транспонированной матрицей.
Квадратная матрица называется невыраженной (или не особой), если ее определитель отличен от нуля, если наоборот - матица выраженная.
Для невыраженной матрицы существует единая обратная матрица А-1 определяется формулой:
и умножить на А *
Свойства обратных матриц:
Определитель det A-1=1/detA
(А-1)-1=А
(АБ) -1=В-1 А-1
20. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу размерности mxn
Выберем в ней произвольным образом S-строк и столько же столбцов (S различных), причем
1≤S≤min элемент {m;n}. Элементы стоящие на пересечении строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка S. Определитель этой матрицы называется, минором порядка S матрицы А. Некоторые миноры могут быть равные нулю.
Рангом матрицы называется наибольший из порядков его миноров, отличных от нуля.
Ранг матрицы обозначает:
rangА(ran……..)
Если все миноры матрицы = нулю,
Из определения ранга матрицы, получает следующие свойства:
Ранг матрицы удовлетворяет двойному неравенству
0≤ r ≤ min {m;n}
ранг матрицы равен нулю, когда матрица нулевая
Для квадратной матрицы n-ного порядка ранг r=n , когда матрица невырожденная detA неравен 0.
21. Система линейных уравнений. Основные понятия
Системой mлин. Уравнений с n неизвестными x1 , x2 , … xn , называется система вида:
а11х1 +а12х2+… +а1nxn=b1
a21x1+a22x2+… +a2nxn=b2 (1)
………………………………….
am1x1+am2x2+…+amnxn=bn
где aij (i=1,m; j=1,n)
коэффициенты системы bi (i=1,m) свободные члены системы.
Если все bi=0, то систему называют однородной, а если среди bi есть отличные от нуля, то неоднородные . Решением линейной системы (1) назыв. Набор чисел:
х1=с1 , х2=с2 …, хn=сn, если в результате подстановки этих чисел вместо неизвестных каждое из уравнений системы превращается в торжество (верное равенство).
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система не имеющая ни одного решения – несовместной. Заметим, что однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.
Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является решение другой и наоборот.
Элементарными преобразованиями СЛУ (сист. лин. уравн.) назыв. преобразования:
умножение уравн. сист. на число отличное от нуля.
Прибавление к одному уравнению системы другого его уравн. умноженное на любое число.
Перестановка местами двух уравн. сист.
Линейную систему (1) можно записать в матричном виде. Матрица:
(а11… а1n)
А=(…………….) (2)
(am1…amn)
Составленная из коэффициента системы (1) назыв. основной матрицей систем, а матрица
(а11…a1nb1n )
A=(………………..)
(am1…amnbmn)
Полученная из основной присоединением столбца и свободных членов назыв. расширенной матрицей системы (1).
Рассмотрим матрицы-столбцы составленные из неизвестных свободных членов:
(х1) (b1)
Х=(х2) B=(b2) (4)
(…) (bm)
(хn)
Поскольку матрица А согласована с матрицей Х (А имеет размерность mxn, а Х – nx1), то можно найти произведение
АХ=(а11х1+…+а1nxn)
(am1x1+…+amnxn)
Поэтому систему (1) можно записать в матричном виде
А*Х=В (5)
И можно решить ее матричным способом :
Выражении «решить систему» означает вычислить совместна она или нет, и в случае совместности решения, найти ее решение.