Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Муравьев а.Н., Котова и.А.
Интегрирование функции одной переменной
Методические указания и задания
к расчетно-графической работы для студентов
всех направлений подготовки бакалавров
БРЯНСК 2012
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Утверждены редакционным
Советом БГИТА
Протокол Nот ___________
Интегрирование функции
одной переменной
Методические указания и задания
к расчетно-графической работы для студентов
всех направлений подготовки бакалавров
Брянск 2012
Составител: Муравьев А. Н.
Котова И.А.
Компьютерный набор: Муравьев А. Н., Котова И.А.
Рецензент: к.ф.-м. наук, профессор Евтюхов К.Н.
Рекомендованы редакционной комиссией
механико – технологического факультета
Протокол Nот __________________
Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с понятием неопределенного интеграла, его свойствами и методами интегрирования. Приводятся подробные вычисления интегралов на примерах. Приведены задания для расчетно-графической работы.
Методические указания предназначены для студентов 1-го курса.
Содержание
Таблица простейших интегралов ……………………………………… 6
Замена переменной ……………………………………………………... 7
Интегрирование по частям ……………………………………………... 9
Интегрирование рациональных функций ………………….…………. 11
Метод Остроградского …………………………………………………. 14
Тригонометрические функции ………………………………………… 17
Интегрирование иррациональных функций ………………………….. 19
Задания для расчетно-графической работы ……………………….….. 24
Примеры выполнения заданий РГР …………….……………………... 47
Таблица простейших интегралов
Определение 1.
ФункцияFназываетсяпервообразнойдля функцииfна множествеХ, если для всех
.
В дальнейшем множествоХуказывать
не будем. Совокупность всех первообразных
для функции
называетсянеопределенным интеграломэтой
функции и обозначается
.
Если
первообразная для
,
то
,
гдеС- произвольная константа.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
; 
;
;
;
ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ
,
,
,
,
,
,
, 
,
, 
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Приведем некоторые примеры вычисления неопределенных интегралов.
.
Проверим результаты интегрирования. Найдем производную функцию от полученного результата.
Упражнение.Применяя таблицу простейших интегралов выполнить задания 1-5 из расчетно-графической работы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием.
Замена переменной
Используя формулу
для дифференциала функции
,
с помощью замены
часто удается упростить интегральное
выражение вида
,
где
- первообразная для функции
.
Приведем некоторые формулы для преобразования дифференциалов:
, 
,
, 
,
, 
.
Рассмотрим несколько примеров.
.
.
Иногда при интегрировании функции, содержащей в знаменателе неразложимые квадратные трехчлены (с отрицательными дискриминантами), надо выделить в трехчлене полный квадрат. Общее правило выделения полного квадрата в неразложимом трехчлене:
.
Рассмотрим простейшие примеры.
.
.
Иногда удобнее
проводить замену переменных в обратном
порядке. Пусть
и
взаимообратные и непрерывно дифференцируемые
функции. Если -
первообразная для функции
,
то
.
Функция
подбирается так, чтобы упростить
подынтегральное выражение.
.
Если дробных
степеней от выражений
несколько, то делаем замену
,
где р– наибольший общий знаменатель всех показателей степеней.
.
При этом мы разделили
на
.
Вычислим еще несколько интегралов.
.
.
Интегрирование по частям
Если
,
- непрерывно дифференцируемые функции,
то справедлива формула интегрирования
по частям
или
.
Приведем наиболее типичные примеры.
.
.
.
Такие интегралы
аналогичным образом вычисляются и в
случае, когда в первом интеграле вместо
множителя
или во втором интеграле вместо множителя
стоит некоторый многочлен степениn.
При этом надо интегрировать последовательно
по частямnраз.
Интегралы следующих типов выражаются сами через себя.
.
Отсюда,
,
.
.
Поэтому,
,
.
Упражнение.Применяя метод интегрирования по частям, выполнить соответствующие задания из расчетно-графической работы.
Интегрирование рациональных функций
Рациональной
называется функция вида
,
где
и
- многочлены степени
и
соответственно,
.
Поэтому интегрирование рациональных
функций сводится к интегрированию
многочлена и правильной рациональной
дроби
,
.
При этом можно
считать коэффициент при
равным единице.
Первым шагом при вычислении интеграла от функции такого вида является разложение знаменателя на множители
,
где
- корни многочлена
кратности
соответственно, а трехчлены
,
не имеют действительных корней
.
При этом
.
Следующим шагом является представление дроби в виде суммы простейших дробей:
.
Здесь
- некоторые числа, которые находятся
методом неопределенных коэффициентов.
Заключается он в том, что правая часть
последнего равенства приводится к
общему знаменателю. В числителе
получившегося выражения получается
некоторый многочлен степени
,
коэффициенты которого, выраженные через
искомые константы, надо приравнять к
коэффициентам многочлена
.
Получается система
линейного уравнения. Рассмотрим пример
.
.
Отсюда
.
Решая эту систему,
получим значения
,
,
,
,
.
Поэтому
.
Есть другие методы нахождения коэффициентов разложения, которые не столь универсальны, как изложенный выше, но в в частных случаях бывают гораздо удобнее. Например, если знаменатель имеет только действительные простые (кратности один) корни, можно поступить следующим образом.
.
.
Положим поочередно
.
Получим равенства
.
Отсюда
.
.
Если знаменатель имеет действительные корни, среди которых есть корни кратности больше единицы, то поступим так:
.
.
Положим
,
тогда
.
Теперь положим
,
получим
.
Осталось найти А. Продифференцируем
предыдущее тождество:
.
Положим
равным значению кратного корня, т.е.
,
тогда
.
.
Итак, разбивая правильную дробь на простейшие, мы ее интегрирование сводим к интегрированию дробей следующих видов:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
Посчитаем интегралы от этих дробей:
1)
; 2)
;
3)
.
Здесь надо заметить,
что
так как
- дискриминант квадратного трехчлена
,
не имеющего действительных корней, а
значит, отрицательный.
4)
.
В последнем
интеграле делается подстановка
:
.
Вычисление такого интеграла рассмотрим в п. 6.
Еще один способ
вычисления интеграла
- использовать рекуррентное соотношение,
которое сейчас установим.
.
Например, посчитаем интеграл
.
Следовательно, вышеприведенный интеграл
окончательно имеет вид:
.
Упражнение. Решить соответствующие задания из расчетно-графической работы.
Метод Остроградского
Пусть знаменатель
несократимой дроби
имеет вид
.
Метод Остроградского заключается в использовании формулы
.
В ней многочлены
и
имеют вид
,
соответственно и
могут быть вычислены без разложения
многочлена
на произведение неприводимых множителей.
Действительно,
является наибольшим общим делителем
двух многочленов
и
,
и может быть вычислен при помощи алгоритма
Евклида, который излагается в курсе
алгебры.
Остается вычислить
многочлены
и
как многочлены с неопределенными
коэффициентами степени на единицу ниже,
чем
и
соответственно. Для вычисления указанных
неопределенных коэффициентов следует
продифференцировать формулу Остроградского,
привести результат дифференцирования
к общему знаменателю и сопоставить
коэффициенты при одинаковых степеняхх в числителях.
Метод Остроградского
особенно эффективен, когда корни
в основном являются кратными или когда
вызывает затруднение нахождение корня
.
Вычислим
.
Имеем
,
.
Наибольший общий делитель этих многочленов равен
.
Поделив
на
«столбиком», найдем
.
и
задаем как многочлены первой степени
с неопределенными коэффициентами, и
формула Остроградского принимает вид
Продифференцируем эту формулу:
.
Результат дифференцирования приводим к общему знаменателю, после чего сопоставляем числители. Получим
.
Сопоставляя
коэффициенты при
и
,
получим систему уравнений:
Решая эту систему,
найдем
.
Таким образом формула Остроградского
принимает вид:
.
Вычислим интеграл в правой части:
.
Окончательно имеем
.
Рассмотрим еще один пример.
Разложим знаменатель на множители:
.
Отсюда
.
.
Приравнивая коэффициенты:
.
.
Упражнение. Применяя метод Остроградского найти соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.
Тригонометрические функции
При интегрировании тригонометрических функций часто оказываются полезными следующие формулы
;
;
.
Например,
.
Иногда удобно
использовать формулу
следующим образом:
.
Рассмотрим интеграл вида
С рациональной функцией R.
При любой функции
такой интеграл сводится к интегралу от
рациональной функции с помощьюуниверсальной тригонометрической
подстановки
.
.
В некоторых случаях
процедуру сведения интеграла
к интегралу от рациональной функции
можно упростить. Рассмотрим эти случаи.
1) Если
,
то удобнее воспользоваться постановкой
.
2) При условии
,
проще всего использовать замену
.
3) В случае
,
поможет подстановка
.
Например,
.
Интеграл вида
можно рационализировать посредством
подстановки
,
при этом
.
Упражнение. Решить соответствующие задания из расчетно-графической работы.
Интегрирование иррациональных функций.
Если подынтегральная
функция содержит радикалы вида
,
,
,
то часто бывает полезно сделать одну
из следующих замен:
,
,
или
,
,
.
В следующем интеграле воспользуемся последней из замен
.
Иногда могут помочь тригонометрические или гиперболические подстановки другого вида:
.
Упражнение. Решить соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.
Рассмотрим интеграл вида:
.
Выделим из
рациональной функции целую часть
,
и разложим правильную
дробь
на сумму простейших дробей. После этого
задача о нахождении интеграла сводится
к нахождению интегралов:
1)
2)
,
3)
Первый интеграл считается с помощью формулы
.
Чтобы найти
коэффициенты многочлена
степениn-1и число
надо продифференцировать эту формулу.
.
После дифференцирования получим
.
Приравниваем коэффициенты
.
Отсюда,
.
.
Посчитаем теперь
второй интеграл с помощью замены
.
Получим
.
Таким образом, второй интеграл сведен к предыдущему.
Осталось рассмотреть
третий интеграл. В случае
делаем замену
.
Когда
,
нужна замена
,
при этом
и
подбираются такими, чтобы в трехчленах
не осталось членов с первой степенью.
Для этого надо решить относительно
и
уравнения.
,
.
После замены получим интегралы
.
В первом из них
применим подстановку
,
во втором - подстановку
.
Рассмотрим
соответствующие примеры. Первый случай
:
.
Случай второй (
:
.
Решаем систему
,
.
,
.
Делаем замену
,
,
.
Дальше интеграл считается совершенно аналогично предыдущему.
Интеграл вида
,
,
,
где
- рациональная функция, можно свести к
интегралу от рациональных функций
посредством одной изподстановок
Эйлера:
,
a>0,
,
c>0,
,
,
где
один
из корней квадратного трехчлена
.
.
.
.
.
.
Упражнение. С помощью подстановки Эйлера вычислить соответствующие интегралы из расчетно-графической работы.
Интегралы вида
,
где
,
,
причем
,
называютинтегралом от дифференциального
бинома. Данный интеграл сводится к
интегралу от рациональной функции в
следующих трех случаях:
- подстановкой
,
где
- общий знаменательm
, n;
- подстановкой
,
гдеq– знаменательр;
- подстановкой
,
гдеq– знаменательр.
Рассмотрим пример
.
Здесь
,
.
,
,
.
Делаем замену
,
,
.
Тогда
.
Этот интеграл вычисляется также как интегралы в пп. 4, 5
Упражнение. Вычислить соответствующие интегралы от дифференциального бинома входящие в расчетно-графическую работу.
|
Найти неопределенные интегралы (в пунктах 1.1-1.5 результаты проверить дифференцированием) | ||||||
|
1.1 |
1.2 | |||||
|
10. |
11. |
|
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
|
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26. |
27.
28.
29.
30. | |
|
1.3 |
1.4 | |||
|
|
|
|
|
30.
|
|
1.5 |
1.6 | ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7 |
1.8 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
|
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
|
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
1.9 |
1.10 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
11 |
1.12 | ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.13 |
1.14 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. |
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
2.1 |
2.2 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
2.3 |
2.4 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. |
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
|
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
2.5 |
2.6 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
2.7 |
2.8 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
2.9 |
2.10 | |||||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
| |||
|
|
|
| ||||||
|
|
| |||||||
|
3.1 |
3.2 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. |
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
3.3 |
3.4 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
3.5 |
3.6 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
|
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
3.7 |
3.8 | ||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
4.1 | ||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
4.2 | ||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
4.3 | ||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
4.4 | ||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
|
|
4.5 |
4.6 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
| ||||||
|
4.7 |
4.8 |
| ||||||||||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
| ||||||
|
4.9 | ||
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
|
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
