РГР математика
.pdfУсловия задач
1, 2. Вычислить f (x, y)dxdy где D - область, ограниченная
D
заданными линиями.
3. Вычислить f (x, y)dxdy , перейдя к полярным координатам, где
D
D - область, ограниченная заданными линиями.
4.Поменять порядок интегрирования.
5.Вычислить f (x, y, z)dxdydz , где D - область, ограниченная
D
заданными поверхностями.
6.С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями.
7.Найти момент инерции относительно заданной оси координат однородного тела плотности , ограниченного заданными
поверхностями.
8.Вычислить работу силового поля F при перемещении материальной точки вдоль заданной линии L.
9.Проверить потенциальность векторного поля F . Найти потенциал. Проверить, правильно ли вычислен потенциал.
Вариант 1.
1) (x y)dxdy; D : y 1; x 4; y x.
D
2) ex y dxdy; D : y 2; y 1; x 1; x 3.
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
x2 |
y2 9dxdy; |
D :9 x2 y2 25. |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
3 y |
2 |
2 y |
||||
4) dy |
f (x, y)dx dy f (x, y)dx. |
|||||||
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|||
5) |
(x y z)dxdydz; D :1 x 2; 0 y 2; 1 z 1. |
D
6)z x2 y2 ; x y 1; x 0; y 0; z 0.
7)OX ; 2; z2 y2 1; x 1; x 1.
8)F xi y j; L : y x2 от точки A(1;1) до точки B(2;4)
9)F (10 y x)i (10x y) j.
|
|
|
|
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|||
1) |
xdxdy; D : y 3x2 ; |
y 6 3x. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
sin(x y)dxdy; |
D : y 0; y |
3 |
; x |
2 |
; x |
4 |
. |
||||
|
3 |
|
||||||||||
|
D |
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 y2 )dxdy; |
D :x2 y2 8; y x; y |
|
|
|
|||||||
3) |
3x; y 0. |
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) dx |
f (x, y)dy dx f (x, y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 1 x2 |
1 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
(2x 3y z)dxdydz; D : 2 x 4; 1 y 3; 0 z 2. |
D
6)x 4; y 4; z x2 y2 1; x 0; y 0; z 0.
7)OY; 3; x2 z2 1; y 0; y 1.
8)F (x y)i (x y) j; L : отрезок MN от точки M(1;0) до т. N(0;3).
9)F (x 8y)i ( 8x 6 y) j.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3. |
|
1) xydxdy; D : y x; |
y 2x; x 2. |
|
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) cos(2x y)dxdy; |
D : y 2 ; y 3 ; x 0; x |
. |
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 dxdy; D :x2 |
y2 4; y 0. |
|
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
y |
|
||||||
1 |
0 |
|
|
|||||||
4) dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx. |
|
|||||||||
2 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|||
5) xdxdydz; D : y |
x |
; y 3x; z 0; z 3; x 3. |
|
|||||||
3 |
|
|||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) x2 y2 3z; z 3. |
|
|
|
|
|
|
||||
7) OZ; 4; x2 y2 1; |
z 1; z 2. |
|
8)F (2xy y)i (x2 x) j; L : y x от точки A(1;1) до точки
B(4;2).
9)F (5x 7 y)i ( 7x y) j.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4. |
|
1) |
(2x 3y)dxdy; |
D : y 3 x2 ; y 2x. |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
e2 x 5 y dxdy; D : x 1; x 5; y 1; y 2. |
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
(x2 |
y2 )2 dxdy; |
D :x2 y2 16; x 0. |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
||||
4) |
|
|
dx |
|
|
f (x, y)dy dx f (x, y)dy. |
||||
|
|
2 |
|
2 x2 |
|
1 |
x |
|||
5) |
ydxdydz; D : y 2x; y |
x |
; x 2; z 0; z 4. |
|||||||
|
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6)z 0; z 4 x2 ; y 0; y x 2.
7)OX ; 2; z2 y2 4; x 0; x 3.
8)F x2 yi y j; L : отрезок MN от точки M(-1;0) до точки N(0;1).
9)F (3x 6y)i ( 6x y) j.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5. |
|
||
1) |
(3xy 2 y)dxdy; |
D : y |
|
x |
; |
y |
x |
; y 1. |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
D |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
sin(3x y)dxdy; |
D : y ; y 0; x ; x 0. |
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
(x2 y2 4)dxdy; D :x2 y2 25; x 0; |
y 0. |
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
|
|
2 y2 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
4) dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx. |
|
||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
zdxdydz; D : y x; y 3x; x 1; z 1; z 1. |
D
6)z 0; z 4 y; x 0; x y 4.
7)OY; 3; x2 z2 4; y 1; y 1.
8)F (x y)i 2x j; L : x2 y2 4; y 0; от точки M(2;0) до т. N(-
2;0).
9) F (6x 3y)i ( y 3x) j.
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6. |
|
|
|
||
1) |
(x 4 y)dxdy; D : y x2 1; |
y 3. |
|
|
|
|
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
cos(3x 2 y)dxdy; |
D : y |
|
; y |
; x |
|
; x |
. |
|||||
|
4 |
||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
12 |
3 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
x2 |
y2 1dxdy; |
D : 4 x2 y2 9; x 0; |
y 0. |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
e |
ln y |
|
|
|
|
|
||
4) dy |
f (x, y)dx dy f (x, y)dx. |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
5) (6x 2 y z)dxdydz; D : 3 x 3; 0 y 1; 2 z 4.
D
6)z x2 y2 ; x2 y2 4; z 0.
7)Oz; 5; x2 y2 9; z 0; z 6.
8)F yi x j; L : x2 y2 2; y 0 от точки M (2;0) до т. N ( 2;0).
9)F (7 y x)i (7x y) j.
1) (2x
D
2) e2 x
D
3) (x2
Вариант 7.
5xy)dxdy; D : y 2x; y 2; x 3.
y dxdy; D : x 2; x 4; y 3; y 0.
y2 2)dxdy; D :x2 y2 4; y 0; y x; x 0.
D |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||
4) dy |
|
f (x, y)dx dy |
f (x, y)dx. |
|||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 y |
y |
5) xdxdydz; D :z x2 ; z 2; y 0; y 2.
D
6)z 0; z 9 y2 x2.
7)OX ; 3; z2 y2 4; x 0; x 2.
8)F (x y)i (x y) j; L : y x3 от точки A(1;1) до точки B(2;8).
9)F 5yi (5x y) j.
|
|
|
Вариант8. |
|||||||
1) |
(4x 3y)dxdy; |
D : x y2 ; x 4. |
|
|
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
sin(x 5y)dxdy; D : y 0; y |
|
|
; x 0; x . |
||||||
10 |
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
(x2 y2 )3 dxdy; |
D : x2 y2 8; |
|
y |
|
3 |
x; y x, y 0. |
|||
|
|
|
||||||||
|
D |
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
2 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) dx |
f (x, y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|
1ln x
5)ydxdydz; D : z 4 x2 ; z 0; y 0; y 2.
D
6)z x2 y2 2; y x; y 0; x 1; z 0.
7)OY; 5; x2 z2 4; y 1; y 2.
8)F (2x y)i (x y) j; L : y x2 от точки M(-1;1) до точки N(1;1).
9)F (3x 8y)i (8x y) j.
|
|
|
|
Вариант 9. |
|
|
|
1) |
2xydxdy; D : y x; y x; y 2. |
|
|
|
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
2) |
cos(x 5y)dxdy; |
D : y |
; y ; x |
|
; x |
. |
|
|
D |
|
4 |
2 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
(x2 y2 8)dxdy; |
D :x2 y2 16; x 0; |
y 0. |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 y2 |
|
|
|
|
|
4) dy |
f (x, y)dx. |
|
|
|
|
|
0y2
5)zdxdydz; D : z y2 ; z 2; x 0; x 4.
D
6) z x2 y2 2; z 0; x 1; x 1; y 1; y 1.
7)Oz; 5; x2 y2 4; z 0; z 5.
8)F (x2 2y)i ( y2 2x) j; L : y 2x 1от точки A(0;1) до точки
(3;7).
9) F 5xi 4 y j.
Вариант 10.
1)
D
2)
D
3)
(x2
e3x 4 y
(x2
y2 )dxdy; D : y 2; y x; x 0. dxdy; D : x 2; x 5; y 3; y 0.
y2 6)dxdy; D :4 x2 y2 16; x 0; y 0.
D |
|
1 |
1 y2 |
4) dy |
f (x, y)dx. |
1 |
y2 1 |
5) xdxdydz; D :z 4 y2 ; z 0; x 1; x 3.
D
6)z 2; z 0; y x; y 3x; x 3.
7)OX ; 2; z2 y2 1; x 0; x 2.
8) |
|
(x y2 )i x j; L : y 2 |
x2 |
от точки M(-4;0) до точки N(0;2). |
|
F |
|||||
|
|||||
|
8 |
|
9) F yi (x 5y) j.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант11. |
|
|
|
||
1) |
(x2 |
y2 )dxdy; D : x y 6; x 1; x 4. |
|
|
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
sin(3x 4y)dxdy; |
D : x |
; x |
; y |
|
; y |
. |
||||||||
12 |
|||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
6 |
2 |
|
8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
x2 y2 2dxdy; |
D :1 x2 |
y2 |
4; y x; x 0; y 0. |
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
|
3 |
|
9 |
10 x |
|
|
|
|
|
||||
4) dx |
f (x, y)dy dx f (x, y)dy. |
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
9 |
|
7 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
5) ydxdydz; D : x y2 ; x 2; z 0; z 3.
D
6)z 3 x2 y2 ; x 0; x 2; y 0; y 3; z 0.
7)OY; 3; x2 z2 1; y 2; y 4.
8)F x3 i y3 j; L : y 2x 3 от точки A(2;1) до точки B(4;5).
9)F ( x y)i x j.
Вариант 12.
1) |
(x y)dxdy; D : y x2 ; y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
cos(2x 5y)dxdy; |
D : y |
|
; y |
|
|
; x |
|
; x . |
|||||||||
|
10 |
6 |
||||||||||||||||
|
D |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) |
(x2 y2 1)2 dxdy; |
D :x2 y2 16; y |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
x; |
y |
3x; y 0. |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) dx f (x, y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
zdxdydz; D : y x2 ; y 4; z 1; z 3. |
|
|
|
|
|
|
|
D
6)y 2x ; y 2x; x 4; z 2; z 2.
7)Oz; 4; x2 y2 1; z 0; z 5.
8)F (x2 y2 )i (x2 y2 ) j; L : y x2 1от точки A(0;1) до т.B(2;5).
9)F (x 7 y)i (7x 3y) j.
|
|
|
Вариант 13. |
1) |
(2xy2 xy)dxdy; |
D : y x; y 0; x 1. |
|
|
D |
|
|
2) |
ex 3 y dxdy; D : x 3; x 0; y 1; y 4. |
||
|
D |
|
|
3) |
(x2 y2 )3 dxdy; D :1 x2 y2 4; x 0. |
||
|
D |
|
|
|
1 |
ey |
|
4) dy |
f (x, y)dx. |
|
01 y
5)(x y)dxdydz; D : y x; y 0; x 1; z 0; z 2.
D
6)z 0; z 4 y2 x2.
7)OX ; 3; x z2 y2 ; x 4.
8)F xyi x2 y3 j; L : отрезок MN, где M(3;0), N(0;3).
9)F (3x 2 y)i (2x y) j.
|
|
|
|
|
Вариант14. |
|
|
1) |
(2x2 xy)dxdy; |
D : y 2x 0; y x; y 2. |
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
2) |
sin(x 2 y)dxdy; |
D : x |
|
; x |
; y ; y |
. |
|
|
D |
|
|
6 |
3 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
(x2 y2 3)dxdy; D : x2 |
y2 36; y x; y x; y 0. |
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
4) dx |
f (x, y)dy. |
|
|
|
|
|
0x2 2
5)(2x z)dxdydz; D : y 2x; x 2; z 2; z 4; y 0.
D
6)z x2 ; z 8 x2 ; y 0; y 2.
7)OY; 2; y x2 z2 ; y 9.
8)F (x y)2 i (x y)2 j; L : y 4 x2 ; от точки A(0;4) до т. B(2;0).
9)F yi (x 7 y) j.
|
|
|
Вариант15. |
|
1) |
xy2dxdy; |
D : y x; x 2; y 1. |
|
|
|
D |
|
|
|
2) |
cos(3x 4 y)dxdy; |
D : x 0; x ; y 0; y |
. |
|
|
D |
|
3 |
8 |
|
|
|
|
3) x2 y2 5dxdy; D :8 x2 y2 9; y x; y 3x; y 0.
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
4) dy |
|
f (x, y)dx. |
|
|||
1 |
|
2 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) (z y)dxdydz; D : y |
x |
; x 4; z 1; z 1; y 0. |
||||
|
||||||
D |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
6)z y2 ; z 8 y2 ; x 0; x 2.
7)OZ; 5; z x2 y2 ; z 16.
8)F x2 yi (x y) j; L : y 2 x2 от точки A(0;2) до точки B(2;6).
9)F ( x 2y)i 2x j.
|
|
|
Вариант 16. |
1) |
x2 ydxdy; |
D : y 2 x; y 1; x 2. |
|
|
D |
|
|
2) |
e5 x y dxdy; |
D : x 2; x 5; y 0; y 4. |
|
|
D |
|
|
3) |
(x2 y2 2)2 dxdy; D : x2 y2 49; y 0; y x; y x. |
||
|
D |
|
|
|
1 |
2 x2 |
|
4) dx |
f (x, y)dy. |
0x
5)xdxdydz; D : z x2 y2 ; z 0; x 0; x 2; y 0; y 3.
D
6)y x; y 2x; x 1; z 0; z 4.
7)OX ; 2; x z2 y2 ; x 1.
8)F (3x y)i 2y j; L : y 5x 1от точки A(1;6) до точки B(3;16).
9)F (2x y)i x j.
|
|
|
|
|
Вариант 17. |
|
|
|
|||
1) |
(2xy x2 )dxdy; |
D : y x2 ; y 1. |
|
|
|
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
sin(5x 2 y)dxdy; |
D : x |
|
; x |
|
; y |
|
; y |
. |
||
|
|
8 |
|||||||||
|
D |
|
|
15 |
10 |
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
(x2 y2 7)dxdy; D :x2 y2 |
36; x 0; y x; x 0. |
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) dx f (x, y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) ydxdydz; D : z 0; z 1 x2 y2 ; x 1; x 1; y 0; y 2.
D
6)y x; x 4; y 0; z 0; z 4.
7)OY; 4; y z2 x2 ; y 1.
8)F (2 y x)i (3x y) j; L : y x3 1 от точки A(0;1) точки B(2;9).
9)F (2x y)i (x 3y) j.
Вариант18.
|
(5y 3x)dxdy; D : y |
|
|
|
|
|||||
1) |
x; x 0; y 2. |
|
|
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
cos(4x y)dxdy; |
D : x |
|
; x ; y |
|
; y . |
||||
12 |
3 |
|||||||||
|
D |
|
|
|
8 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
3) |
|
x2 y2 4dxdy; |
D :36 x2 y2 49; y 0; y x; x 0. |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
4) dx |
f (x, y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
||
5) |
zdxdydz; D : y x; y 0; x 1; z 0; z x2 y2. |
D
6)y x2 ; y 4; z 1; z 1.
7)OZ; 3; z x2 y2; z 1.
8)F (x y)2 i (x2 y2 ) j; L : y x от точки A(1;1) до т. B(9;3).
9)F yi (x y) j.